Konvergenzradius für der Taylorreihe von " f(x) = 1 / Wurzel x " um den Entwicklungspunkt x0=1.

Question

Bestimmen Sie die Taylor Reihe von " f(x) = 1 / Wurzel x "  um den Entwicklungspunkt x₀=1. Geben Sie den zugehörigen Konvergenzbereich der Taylorreihe an! Berechnen sie die ersten 4 Glieder mit Hilfe der Ableitungen.

\( f(x)=1-\frac{1}{2} x+\frac{3}{8} x^{2}-\frac{5}{16} x^{3}+\frac{35}{128} x^{4} \)

Die Ableitungen habe ich bestimmt und auch die Reihe berechnet, aber wie mache ich jetzt weiter?

Comments

Abgeleitet hast du offenbar richtig. Allerdings solltest du jetzt nicht x sondern (x-1)^k haben. Vgl:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=taylor+of+f%28x%29+%3D+1+%2F+√x+at+x0%3D1

Um den Konvergenzradius zu berechnen, kannst du vermutlich die allgemeinen Binomialkoeffizienten (-o.5 tief n) benutzen. Ich hoffe, das klappt.
Als Radius sollte gemäss den Angaben von Wolframalpha bei der Taylorreihe 1 rauskommen.

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Aha, aber das mit dem (-0,5 tief n) kenne ich nicht, haben wir nie behandelt. Geht das nicht anders?

Answer 1

Wenn man die Funktionentheorie zur Verfügung hätte, wäre die Sache rasch erledigt; denn
\(F(z)=1/\sqrt{z}\) ist in dem größten Kreis um den Entwicklungspunkt herum in eine Potenzreihe
entwickelbar, in dem keine Singularität von \(F\) liegt. Die dem Entwicklungspunkt \(z_0=1\) nächste
Singularität liegt bei \(z_s=0\), Der Konvergenzradius ist also \(R=|z_s-z_0|=1\).