Berechnen des Konvergenzradius und Konvergenzbereichs der Taylorreihe zu f(x) = ln(x) in x0 = 4.

Question

ich habe die Aufgabe von der Funktion f(x)=ln(x) zuerst eine Taylorreihe mit dem Entwicklungspunkt x₀ = 4 zu bilden und dann von dieser den Konvergenzradius und den Konvergenzberreich zu berechnen.

Das Ergebnis der Taylorreihe ist bei mir:

$$f\left( x \right) =\ln { 4 } +\sum _{ k=1 }^{ \infty  }{ \frac { 1 }{ { -((-4k) }^{ k }) } *{ (x-4) }^{ k } }$$

wenn ich nun den Konvergenzradius berechnen will nutze ich ja die Formel:

$$r=\lim _{ k\xrightarrow {  } \infty  }{ \left| \frac { { a }_{ k } }{ { a }_{ k+1 } }  \right|  }$$

da gilt:$${ a }_{ k }=\frac { 1 }{ { -((-4k) }^{ k }) }$$

kam ich zu dem Ergebniss:

$$r=\lim _{ k\xrightarrow {  } \infty  }{ \left| \frac { { -((-4(k+1)) }^{ (k+1) }) }{ { -((-4k) }^{ k }) }  \right|  } $$

An dieser Stelle stoße ich jedoch auf einige Probleme beim berechnen des Grenzwertes, da mir jegliche Idee fehlt den Bruch zu vereinfachen.

Ich hoffe mir kann hier jemand helfen

Schonmal Danke :)

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Taylorreihe konvergenzbereich

Stichworte: konvergenz,potenzreihe,taylorreihe

Y= f(x)=ln x als taylorreihe mit entwicklungspunkt x_{0 =  4} 

Bestimmen Sie den Konvergenzbereich der Reihe

Warum erhält man diesen Bereich ?

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Wie lautet denn deine Reihe?

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Da steht entwickeln sie y= f(x) =lnx als Taylorreihe mit entwicklungspukt x0=4

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Ja, ich weiß. Aber was hast du als Ergebnis für die Reihe raus???

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Leider hab ich die aufgabe nicht verstanden :(

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Was verstehst du denn nicht an dieser Aufgabe?

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Außerdem wurde diese Aufgabe schon behandelt! Hier:

https://www.mathelounge.de/550362/berechnen-konvergenzradius-konvergenzbereichs-einer-reihe

Answer 1

leider stimmt hier schon deine Taylorreihe nicht mehr. Die k-te Ableitung an der Stelle x=4 lautet:

$$ f^{(k)}(x)=(-1)^{k-1}\cdot\frac{(k-1)!}{x^k} $$

$$ f^{(k)}(4)=(-1)^{k-1}\cdot\frac{(k-1)!}{4^k} $$

Dass die Ableitung für alle k≥1 stimmt müsste dann noch per Induktion beweisen werden. Ist aber eine Kleinigkeit.

In die Taylorformel eingesetzt ergibt das:

$$ f(x)=T_{nf}(x;4)=\ln(4)+\Bigg(\sum_{k=1}^n{\frac{f^{(k)}(4)}{k!}\cdot(x-4)^k} \Bigg) +R_n(x)\\=\ln(4)+\Bigg(\sum_{k=1}^n{(-1)^{k-1}\cdot \frac{(k-1)!}{4^k\cdot k!}\cdot(x-4)^k} \Bigg) +R_n(x)\\=\ln(4)+\Bigg(\sum_{k=1}^n{(-1)^{k-1}\cdot \frac{1}{4^k\cdot k}\cdot(x-4)^k} \Bigg) +R_n(x)$$

Jetzt muss man noch dieses blöde Restglied Rn(x) loswerden, um dann eine Reihe schreiben zu können. Dafür wird nach Lagrange eine Restgliedabschätzung gemacht.

$$ \text{Für } x\in]0,8] \text{ und einem } \xi \text{ zwischen } x \text{ und } 4 \text{ ergibt sich:} $$

$$ |R_n(x)|=\Bigg|\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}\cdot(x-4)^{n+1} \Bigg|=\Bigg|(-1)^{n}\cdot \frac{n!}{\xi^{n+1}}\cdot \frac{1}{(n+1)!}\cdot(x-4)^{n+1} \Bigg|\\\leq \Bigg|\frac{1}{(n+1)\cdot\xi^{n+1}}\cdot(x-4)^{n+1} \Bigg|\leq\Bigg|\frac{1}{(n+1)\cdot 4^{\ n+1}}\cdot(8-4)^{n+1} \Bigg|=\Bigg|\frac{1}{n+1}\Bigg|=\frac{1}{n+1}\stackrel{n \to \infty}{\longrightarrow} 0 $$

Weil das Restglied also gegen Null geht gilt nun:

$$ f(x)=\lim_{n \to \infty}\Bigg(\ln(4)+\Bigg(\sum_{k=1}^n{(-1)^{k-1}\cdot \frac{1}{4^k\cdot k}\cdot(x-4)^k} \Bigg) +R_n(x)\Bigg)\\=\ln(4)+\Bigg(\sum_{k=1}^\infty{(-1)^{k-1}\cdot \frac{1}{4^k\cdot k}\cdot(x-4)^k} \Bigg) $$

Jetzt komm ich zum Konvergenzradius. Das ganze mache ich mal mit Wurzelkriterium.

$$ \limsup_{k \to \infty}\sqrt[k]{|a_k|}=\limsup_{k \to \infty}\sqrt[k]{\Bigg|(-1)^{k-1}\cdot \frac{1}{4^k\cdot k} \Bigg|}\\=\limsup_{k \to \infty}\Bigg| \frac{1}{\sqrt[k]{4^k\cdot k}}\Bigg|=\frac{1}{4}\stackrel{|x|<8}{<}1  $$

Dann hat man als Konvergenzradius:

$$ R=\frac{1}{\limsup_{k \to \infty}{\sqrt[k]{|a_k|}}} \Rightarrow \qquad R=\frac{1}{\limsup_{k \to \infty}{\sqrt[k]{(-1)^{k-1}\cdot \frac{1}{4^k\cdot k}}}}=4 $$

Jetzt hat man folgenden Konvergenzbereich

$$ x \in\{x \in \mathbb{R}:|x-x_0|<R\}\\ \Rightarrow \quad x \in\{x \in \mathbb{R}:|x-4|<4\}=]0,8[ $$

Comments

erstmal Danke für deine ausführliche Antwort.

Ich habe noch die frag ob man hier das Wurzelkriterium verwenden muss oder ob das Quotientenkriterium genauso möglich ist und wenn warum mann das Wurzelkriterium braucht.

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ok spielt keine Rolle mehr ich habe mit dem Quotientenkriterium nach einigem Umformen das selbe rausbekommen

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Ja genau, Quotientenkriterium geht auch. Falls du noch Schwierigkeiten haben solltest hier noch ein Link, wo eine andere Reihe behandelt wurde.

https://www.mathelounge.de/543236/bestimmen-sie-den-konvergenzbereich-der-reihen

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Woher kommt das x∈(0,8)? war das in der aufgabe gegeben oder woher kommt das?

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Löse dazu die Ungleichung \(|x-4|<4\)

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Die Ungleichung Stammt aus der Definition des Konvergenzbereichs der Taylorreihe oder woher

Also aus:


$$ x \in\{x \in \mathbb{R}:|x-x_0|<R\}\\ $$

Ist das Allgemein Gültig für Taylorreihen ?

Kann dazu in meinem Analysis 1 skript nichts finden

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Die Menge \(\{x\in \R:\ |x-x_0|<R\}\) beschreibt, wo die Potenzreihe konvergiert.

Das ganze kann man sich wie folgt herleiten:

Angenommen, die Potenzreihe \(\sum\limits_{k=0}^\infty a_k\cdot (x-x_0)^k\) ist konvergent mit Radius \(R\). Dann gilt zb mit dem Wurzelkriterium

$$ 1>\limsup_{k\to \infty} \sqrt[k]{|a_k\cdot (x-x_0)^k|}=\Bigg(\limsup_{k\to \infty} \sqrt[k]{|a_k|}\Bigg)\cdot |x-x_0|\\\Rightarrow \underbrace{R=\frac{1}{\limsup_{k\to \infty} \sqrt[k]{|a_k|}}}_{\text{Definition Konvergenzradius}}>|x-x_0|$$

Nun kennt man \(R\) und \(x_0\) (Entwicklungspunkt) und interessiert sich für alle \(x\in \R\), die diese Ungleichung erfüllt. Formal lässt sich das als Menge der Form \(\{x\in \R:\ |x-x_0|<R\}=]x_0-R,x_0+R[\) beschreiben.
Es lohnt sich aber auch immernoch, die Randpunkte \(x_0-R, x_0+R\) gesondert zu betrachten, in dem man sie in die Potenzreihe einsetzt und prüft, ob sie immernoch konvergiert. Das kann man dann zb mit dem Majorantenkriterium machen.

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Schon mal Danke für diese Erklärung. Aber in diesem Fall brauchten wir doch x∈[0,8] für die Restglied Bestimmung.

Allerdings haben wir hier ja theoretisch den Radius erst nach dem Restglied bestimmt. Das hatte mich ein wenig verwirrt.

Also würde man rein rechnerisch erstmal den Radius bestimmen und dann das Restglied?

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Nein. Bei einer Potenzreihe konvergiert doch gerade die Reihe im besagten Konvergenzbereich. Da ist das Restglied gleich \(0\). Und ob sie auch in \([0,8]\) konvergiert, musst du dann noch explizit für \(0\) und \(8\) untersuchen, da mit dem Konvergenzkriterium nur das offene Intervall heraus kommt \(]0,8[\).

Answer 2

  Kannst du eigentlich ===>  Funktionenteorie? Der Konvergenzkreis erstreckt sich immer bis zur nächsten Singularität;  hier wäre das R = 4 . Innerhalb konvergiert die Reihe absolut; außerhalb divergiert sie .