Konvergenzradius zur Taylorreihe von f(x)= xe^(−x)

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die Taylorreihe T f(x) der Funktion f(x)= xe^(−x)

im Entwicklungspunkt x0 =0 sowie den Konvergenzradius von T f(x).

Problem/Ansatz:

Also Ich habe hier bei der Aufgabe die Taylorreihe bestimmt, indem ich die bekannte Reihe von e^x mit (-x) substituiert habe und dann alles mit x multipliziert.

Das Ergebis ist im Foto zu sehen.

Aber ich komme einfach nicht drauf wie ich den Konvergenzradius zu bestimmen habe, da ich kein Ausdruck mit x^n habe.

Kann mir jemand einen Tipp geben?

Text erkannt:

\( e^{x}=\sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n !}=1+x+\frac{x^{2}}{2 !}+\frac{x^{3}}{3 !} \)
\( T f(x)=x \cdot \sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{(-\infty)^{n}}{n !}=\sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} \cdot x^{(n+1)}}{n !}=x-x^{2}+\frac{x^{3}}{2}-\frac{x^{4}}{6} \)

Answer 1

Der Konvergenzradius ist der gleiche wie bei der Reihe für e^x, also ∞.

Kannst du auch über das Quotientenkriterium bekommen

also Grenzwert von a_n / a_n+1   denn  es ist ja

a_n = (-1)^(n-1) / (n-1)!

Comments

Danke für die Antwort. Aber wie kommt man auf diese Lösung?

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Hab's ergänzt.

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Okay, aber man darf doch so wie ich es verstanden habe die Kriterien nur benutzen wenn man den Ausdruck x^n in der Reihe hat. Da bei mir x^(n+1) herrscht, war ich mir nicht sicher ob ich das rechnerisch einfach so machen darf.

Ich sehe, dass du den Ausdruck geändert hast. Darf man das einfach so machen dass ich meine Summenformel von n=1 starten lasse?

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Du kannst ja die Summe statt von 0 bis unendlich auch von 1 bis unendlich gehen

lassen, dann hast du auch x^n und das  ändern von endlich vielen

Summanden ändert am Konvergenzverhalten nichts, sondern nur

den Wert des Grenzwertes.

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Super vielen Dank!