Wie bestimme ich bei dieser Funktion die Taylorreihe mit Entwicklungspunkt 2 und den Konvergenzradius der Reihe?

Question

Aufgabe:

Angenommen es sei $$f : (0, \infty)\rightarrow \mathbb{R}, x \rightarrow \frac{1}{x}$$.

Problem/Ansatz:

Wie bestimme ich bei dieser Funktion die Taylorreihe mit Entwicklungspunkt 2 und den Konvergenzradius der Reihe?

Blicke leider nicht ganz durch wie das funktioniert und bitte daher um Hilfe.

Answer 1

\(T_f(x) = \sum\limits_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(x-2)}{n!}(x-2)^n\).

Jetzt brauchst du noch eine Formel für die \(n\)te Ableitung \(f^{(n)}(x)\) von \(f(x) = \frac{1}{x}\). Berechne dazu die ersten paar Ableitungen von \(\frac{1}{x}\) und versuche ein Muster zu finden.

Erst dann ist es sinnvoll, sich um den Konvergenzradius zu kümmern. Den berechnet man dann mit Cauchy-Hadamard oder über \(\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|\).