Bestimmen Sie die Taylorreihe am Entwicklungspunkt x0 = 0 für die Funktion f(x) = 1/(1+x)^3 per Induktion

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die Taylorreihe am Entwicklungspunkt x₀ = 0 für die Funktion $$ f(x) = \frac{1}{(1+x)^3} $$

Zeigen Sie hierfür eine allgemeine Formel für die n-te Ableitung per Induktion. Die Konvergenz der
Reihe gegen die Funktion für |x| < 1 darf hier als vorausgesetzt angenommen werden und muss
nicht gezeigt werden.

Problem/Ansatz:

Ich habe als Ansatz $$ f^{(k)}(x) = \sum \limits_{k=0}^{\infty}(-1)^k \frac{\frac{(k+2)!}{2}}{(x+1)^{k+3}} $$

Mein Problem ist, dass ich nun nicht weiß, wie ich den Beweis durch Induktion richtig durchführen soll, bzw. ob mein Ansatz überhaupt richtig ist.

Vielen Dank schonmal für die Antworten.

Comments

Das ist nicht die Formel für die k-te Ableitung von f. Berechne doch mal f', f'', f'''. Was zeichnet sich ab?

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Das hab ich gemacht und das war die Gemeinsamkeit, die ich herausgefunden habe.

$$ f'(x) = -\dfrac{3}{\left(x+1\right)^4} $$

$$ f''(x) = \dfrac{12}{\left(x+1\right)^5} $$

$$ f'''(x) = -\dfrac{60}{\left(x+1\right)^6} $$

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Daraus würde ich die Formel

$$f^{(k)}(x)=(-1)^k 3 \cdot 4 \cdots (k+2)(1+x)^{-k-3}$$

ableiten. Jetzt sehe ich, dass Du ob genau diese Formel aufgeschrieben hast. Aber das Summenzeichen ist völlig falsch.

Ist Dir da vielleicht etwas von der Taylorreihe durcheinander gekommen?

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Ja da bin ich leider etwas durcheinandergekommen, ich werde das mal eben schnell korrigieren. Danke für den Hinweis. Ich habe jetzt folgendes als Induktionsanfang :

k = 1

$$ f'(0) = -\frac{3}{(0+1)^4} = -3 $$

$$ f^{(1)}(0)= (-1)^1 \frac{\frac{(1+2)!}{2}}{(0+1)^4}=-3 $$ ✓

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Als Inktionsvoraussetzung:

Es gilt: $$ (-1)^{k+1}\frac{\frac{((k+1)+2)!}{2}}{(x+1)^{(k+1)+3}} $$

Answer 1

Aloha :)

Das Rezept ist sehr umständlich, ich würde eine andere Vorgehensweise wählen.

Wir gehen von der Summenformel für die geometrische Reihe aus:$$\sum\limits_{k=0}^\infty x^k=\frac{1}{1-x}\quad;\quad|x|<1$$So lange wir uns im Konvergenzbereich der Reihe befinden, können wir sie ableiten, indem wir ihre Summanden einzeln ableiten. Leiten wir also beide Seiten ab:$$\sum\limits_{k=0}^\infty kx^{k-1}=\frac{1}{(1-x)^2}\implies\sum\limits_{k=\pink1}^\infty kx^{k-1}=\frac{1}{(1-x)^2}\quad;\quad|x|<1$$Und weil das so schön war, gleich nochmal:$$\sum\limits_{k=1}^\infty k(k-1)x^{k-2}=\frac{2}{(1-x)^3}\implies\sum\limits_{k=\pink2}^\infty k(k-1)x^{k-2}=\frac{2}{(1-x)^3}\quad;\quad|x|<1$$

Mit einer Indexverschiebung erhalten wir zunächst$$\frac{2}{(1-x)^3}=\sum\limits_{k=0}^\infty(k+2)(k+1)x^k$$und beim Übergang von \(x\) zu \((-x)\) schließlich:$$\frac{1}{(1+x)^3}=\sum\limits_{k=0}^\infty(-1)^k\cdot\frac{(k+2)(k+1)}{2}\cdot x^k\quad;\quad|x|<1$$

Comments

Hey, vielen Dank für die Antwort. Leider müssen wir das mit vollständiger Induktion machen. Diese Lösungsart mussten wir bei einer anderen Lösung anwenden. Oder übersehe ich bei deiner Lösung etwas.