Bestimmen Sie für die folgenden Funktionen jeweils die Taylorreihe am Entwicklungspunkt x_{0}=0

Question

Aufgabe . Bestimmen Sie für die folgenden Funktionen jeweils die Taylorreihe am Entwicklungspunkt \( x_{0}=0 \)
(i) \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x):=\frac{1}{1+x^{2}} \)
(ii) \( g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, g(x):=\arctan x \)

Wieso konvergiert die Reihe in diesen Fällen tatsächlich gegen die Funktion? Hinweis: Die direkte Berechnung der Ableitungen, sowie die Abschätzung des Restgliedes sind in dieser Aufgabe nicht erforderlich.

Answer 1

(i)  Du kennst sicher die Summenformel für die geometrische Reihe

\(  \sum\limits_{k=0}^\infty q^k = \frac{1}{1-q} \).

Wenn du q=(-x^2) nimmst, gibt das \(  \sum\limits_{k=0}^\infty (-x^2)^k = \frac{1}{1+x^2} \).

Also fängt die Taylorreihe so an:   \(1-x^2+x^4-x^6+\dots \)  .