Aufgabe:
Aufgabe 7 (3 Punkte). Das Polynom \( p_{n}(x)=x^{n}-1 \) hat offenbar für jedes \( n \in \mathbb{N} \) die Nullstelle 1, daher muss es für jedes \( n \) ein Polynom \( h_{n} \) geben, so dass \( p_{n}(x)=h_{n}(x)(x-1) \) ist. Finde und beweise eine Formel für \( h_{n} \).
Hinweis: Berechne zunächst \( h_{1}, h_{2}, h_{3}, \cdots \) und stelle eine Vermutung an wie allgemeine \( h_{n} \) aussehen könnten. Beweise die gefundene Formel dann beispielsweise mittels Induktion.
Problem/Ansatz:
Das ist meine Formel für \( h_{n} \):
\( h_{n}(x)=\left(\sum \limits_{k=1}^{n} x^{k}\right)+1 \)
Ist das richtig?
Mein Problem ist der Beweis. Ich möchte eine vollständige Induktion durchführen, aber ich habe leider keine Ahnung wie. Hilft mir bitte jemand?
