Sei f:ℚ^3 → ℚ^2 bestimme Matrix A ∈ Mat(2,3;ℚ): f=h_{A}

Question

Aufgabe:

$$\text{Die Menge } B= \{b_1,b_2,b_3\} \text{ mit } b_1=\begin{pmatrix} 1\\1\\0 \end{pmatrix},b_2 = \begin{pmatrix}5\\0\\1 \end{pmatrix},b_3 = \begin{pmatrix}0\\-7\\1 \end{pmatrix} \\\text{ ist eine Basis des } \mathbb{Q}^3. \\\text{ Sei } f:\mathbb{Q}^3 \longrightarrow \mathbb{Q}^2 \text{ die durch } f(b_1)= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}, f(b_2)=\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} \\\text{ und } f(b_3)=\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} \text{ eine definierte lineare Abbildung.} \\\text{ Bestimmen Sie die eindeutige Matrix } A\in \text{Mat}(2,3;\mathbb{Q})\text{ mit} f=h_A$$

Problem/Ansatz:

Ich bin mir nicht sicher wie ich das bezwecken soll.

Was ich mir bisher überlegt habe:

$$f:\mathbb{Q}^3 \longrightarrow \mathbb{Q}^2 \\\begin{pmatrix} x_1\\x_2 \\x_3 \end{pmatrix} \mapsto \{f(b_1),f(b_2),f(b_3)\} \\\{b_1, b_2, b_3 \}=\{e_1,e_2,e_3\} \text{Basis von } \mathbb{Q} \\\Longrightarrow \vec {v}=\begin{pmatrix} x_1\\x_2 \\x_3\end{pmatrix} \in \mathbb{Q} \Longleftrightarrow x_1*b_1+x_2*b_2+x_3*b_3  \\\Longrightarrow \text{Da }f\mathbb{Q}-\text{linear ist:} \\ f(v)= x_1*f(b_1)+x_2*f(b_2)+x_3*f(b_3) \\\Longrightarrow \{f(b_1),f(b_2),f(b_3)\} \in \text{Mat A}(2,3;\mathbb{Q}) \\\Longrightarrow A=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 \\ 2 & 1 &1 \end{pmatrix} \\\forall \vec{v} \in \mathbb{Q}^3: A*\vec{v} \\=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 \\ 2 & 1 &1 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} x_1\\x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}= x_1\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}+ x_2\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}+ x_3\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}= x_1*f(b_1)+x_2*f(b_2)+x_3*f(b_3) = f(v)$$

Ich entschuldige mich für die schlechte Notation.

Answer 1

Deine Matrix A ist die, die sich auf die gegebene Basis B in Q^3 und die

Standardbasis von Q^2 bezieht.

Du sollst aber die Matrix angegeben, die sich in beiden Räumen auf

die Stadardbasis bezieht.

Dazu musst du die Bilder der Standardbasisvektoren von Q^3 bestimmen.

Der erste wäre  e1=

1
0
0

Davon das Bild erhältst du, indem du   e1 durch die Basis B darstellst.

e1 = 3,5b1 - 0,5b2 + 0,5b3

also

f(e1) = 3,5*f(b1) - 0,5*f(b2) + 0,5*f(b3)

$$=    3,5*\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}-0,5*\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}+ 0,5*\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5,5 \\ 7 \end{pmatrix} = f(e1)$$

Also i8st die erste Spalte der gesuchten Matrix A =

5,5       ?      ?
  7        ?       ?

und die anderen beiden Spalten sind die Bilder von e2 und e3, die

du entsprechend ausrechnen kannst.

Comments

Ich habe jetzt den Rechenweg verstanden :)

Ich verstehe nur nicht wie du die werte:

(3,5); (-0,5);( 0,5) bestimmt hast in diesem Schritt:

e1 = 3,5b1 - 0,5b2 + 0,5b3

Aber ich habe den rechenweg schon verstanden:

Via gauss-jordan:

$$e_1= \begin{pmatrix} 1\\0 \\0\end{pmatrix} \\ \land e_1= x_1*\begin{pmatrix} 1\\1\\0 \end{pmatrix}+x_2*\begin{pmatrix} 5\\0 \\1 \end{pmatrix}+ x_3* \begin{pmatrix} 0\\-7\\1 \end{pmatrix} \\ \Longleftrightarrow \begin{pmatrix} 1 & 5 & 0 & |1\\ 1 & 0 &-7 &|0\\0 & 1 & 1 & |0 \end{pmatrix} \\=\begin{pmatrix} 1 & 5 & 0 & |1\\ 0 & -5 &-7 &|-1\\0 & 1 & 1 & |0 \end{pmatrix} \\=\begin{pmatrix} 1 & 5 & 0 & |1\\ 0 & 1 &1,4 &|\frac{1}{5}\\0 & 0 & -0,4 & |\frac{-1}{5} \end{pmatrix} \\=\begin{pmatrix} 1 & 5 & 0 & |1\\ 0 & 1 &0 &|-5,05\\0 & 0 & 1 & |3,75 \end{pmatrix} \\=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & |26,25\\ 0 & 1 &0 &|-5,05\\0 & 0 & 1 & |3,75 \end{pmatrix} \\\Longrightarrow (x_1= 26,25) \land (x_2= -5,05) \land (x_3= 3,75) $$

Für die e_2 und e_3 wäre die Methode die Gleiche:

$$e_2:\begin{pmatrix} 1 & 5 & 0 & |0\\ 1 & 0 &-7 &|1\\0 & 1 & 1 & |0 \end{pmatrix} \\ e_3:\begin{pmatrix} 1 & 5 & 0 & |0\\ 1 & 0 &-7 &|0\\0 & 1 & 1 & |1 \end{pmatrix}$$

Ist meine Vermutung korrekt?

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Gauss-Jordan ist völlig richtig, aber du hast da einen

Rechenfehler:

Wo du in der 3. Zeile die -0,4 wegschaffst,

entsteht in der rechten Spalte nicht 3,75 sondern 0,5.

Dann bekommst du auch meine Werte.

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Danke für den Hinweis. Habe mich in Latex vertippt :)