Aufgabe zum Knobeln mit Variablen: Zeige dass 1/((x+1)*y) + 1/(x+1) + 1/y =1/4 äquivalent zu (x-3)*(y-4) =20

Question

Zeige dass 1/((x+1)*y) + 1/(x+1) + 1/y =1/4

äquivalent zu (x-3)*(y-4) =20

Welches ist also der kleinste Wert des Produkts xy, wenn x und y natürliche Zahlen sind?

Ps.: "/" entspricht Bruchstrich

Comments

1) Fehlen da noch Klammern?

2) Mir erschließt sich nicht die Bedeutung deiner Formulierung "also".

Was hat "Zeige dass... äquivalent ist zu ..."

mit

"Welches ist der kleinste Wert ..."

zu tun?

Bitte korrigiere/ergänze deine Aufgabenstellung.

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Kommt mir bekannt vor.

Answer 1

1/((x + 1)·y) + 1/(x + 1) + 1/y = 1/4 ; x ≠ 1 ∧ y ≠ 0

4/((x + 1)·y) + 4/(x + 1) + 4/y = 1

4/(x + 1) + 4y/(x + 1) + 4 = 1y

4 + 4y + 4(x + 1) = 1y(x + 1)

4 + 4y + 4x + 4 = xy + y

4x + 3y - xy + 8 = 0

xy - 4x - 3y - 8 = 0

xy - 4x - 3y +12 = 20

(x - 3)·(y - 4) = 20

Comments

Welches ist also der kleinste Wert des Produkts xy, wenn x und y natürliche Zahlen sind?

[Nach Kommentar korrigiert]

63 dürfte das kleinste Produkt aus x und y sein.

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Ich komme für xy auf nichts kleineres als 63.

Denn aus (x - 3)·(y - 4) = 20  und x,y nat. Zahlen, folgt

doch, dass auch x-3  und  y-4 zumindest ganzzahlig

sein müssen. Also habe ich  alle ganzzahligen

Zerlegungen von 20 durchprobiert, also

1*20   also x=4 und y=16

2*10    also x=5  und y= 14

4*5     also  x=7  und y= 9

5*4   also  x=8  und y= 8

etc .

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Warum ist y=16, wenn x=4 ist?

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Wenn x=4 ist, dann wird aus der Gleichung

(x - 3)·(y - 4) = 20 doch

(4 - 3)·(y - 4) = 20

               y-4 = 20

                  y=24

Oha, da hatte ich mich wohl mit plus und minus vertan, sorry.

Aber bei den anderen stimmt es hoffentlich.

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@mathef

Du hast recht. 63 ist hier das Minimum.

y = 4·(x + 2)/(x - 3)

p(x) = x·y = 4·x·(x + 2)/(x - 3)

p'(x) = 4·(x^2 - 6·x - 6)/(x - 3)^2 = 0 --> x = -0.8729833462 (HP) ∨ x = 6.872983346 (TP)

Minimum liegt bei x = 7 und y = 9 also bei 63.

Ein Auszug aus der Wertetabelle für x und y

[4, 24;
5, 14;
7, 9;
8, 8]