Vollständige induktion auf gabe b

Question

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Aufgabe 1.1 Wir hatten in der Plenarübung die Formeln
\( \sum \limits_{k=1}^{n} k=\frac{n(n+1)}{2}, \quad \sum \limits_{k=1}^{n} k(k+1)=\frac{n(n+1)(n+2)}{3} \)
für alle \( n \in \mathbb{N} \) bewiesen. Vermuten Sie eine analoge Formel für den Ausdruck
\( \sum \limits_{k=1}^{n} k(k+1) \cdots(k+m) \quad(n, m \in \mathbb{N}) \)
und beweisen Sie diese mithilfe vollständiger Induktion.
Aufgabe 1.2  Zeigen Sie mithilfe vollständiger Induktion:
(a) Für alle \( n \in \mathbb{N} \) gilt \( 11^{n+1}+12^{2 n-1} \) ist durch 133 teilbar.
(b) Für alle \( n \in \mathbb{N} \) gilt \( n ! \leq 2\left(\frac{n}{2}\right)^{n} \).
Hinweis: Bei (b) könnte die Bernoullische Ungleichung nützlich sein.
Aufgabe 1.3 Zeigen Sie die folgenden Aussagen über reelle Zahlen:
(a) Sind \( x, y \in \mathbb{R} \) mit \( x, y \geq 0 \), so folgt aus \( x^{2}<y^{2} \) stets \( x<y \).
(b) Für \( x \in \mathbb{R} \) gilt \( |x| \geq 0 \) und \( |x|=0 \) genau dann, wenn \( x=0 \) gilt.
(c) Für \( x, y, \varepsilon \in \mathbb{R} \) mit \( \varepsilon>0 \) gilt \( |x-y| \leq \varepsilon \) genau dann, wenn \( y-\varepsilon \leq x \leq y+\varepsilon \).
(d) Für \( x, y \in \mathbb{R} \) mit \( x \neq 0 \) und \( y \neq 0 \) gilt \( \left|\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right| \geq 2 \).

Aufgabe:

Hallo und zwar könnte mir jemand bei 1.2 b behilflich sein und 1.3 wäre super hilfreich

Comments

Hi hätte hier niemand eine Idee ?

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Wo wohnst Du? Ist bei Dir nicht gerade erst Morgen?

Jedenfalls wurden 2.2b und 1.3c,d kürzlich auf Mathelounge bearbeitet.

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Ich lerne am besten morgens deswegen bin ich so früh wach und hättest du ein link für mich weil ich finde es nicht

Answer 1

12 b) findest du dort

https://www.mathelounge.de/968185/n-n-2-n-durch-vollstandige-induktion-beweisen

1.3

(a) Sind \( x, y \in \mathbb{R} \) mit \( x, y \geq 0 \), so folgt aus \( x^{2}<y^{2} \) stets \( x<y \).

Bew.:   Seien \( x, y \in \mathbb{R} \) mit \( x, y \geq 0 \) und     \( x^{2}<y^{2} \)

==>    \( 0 <y^{2} -x^{2}\)   3.binomi.

==>    \( 0 <(y-x)(y+x) \)

Wegen \( x, y \geq 0 \) ist der 2. Faktor positiv, also der 1. auch

==>   \( 0 <y-x \)

==>  \( x <y \)   q.e.d.

(b)   \( |x| \geq 0 \) und \( |x|=0 \)

wegen "und" gilt insbesondere     \( |x|=0 \)

also x=0  und -x=0   insbesondere also x=0.

umgekehrt:   x=0 ==>   x=0 und -x=0

                          ==>  |x|=0

Und   \( |x| \geq 0 \) gilt für alle \( x \in \mathbb{R} \), also gilt

     \( |x| \geq 0 \) und \( |x|=0 \) .