Vollständige Induktion (a,b,c bestimmen)

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie \(a,b,c ∈ℝ\) so, dass gilt :

$$\sum \limits_{k=1}^{n}\frac{k}{q^{k}}=\frac{aq^n+bn+c}{q^{n}}$$
für alle \(|q| >1\)

Problem/Ansatz:

Hallo
ich habe zwar versucht diese Aufgabe (gehört zum Thema "Vollständige Induktion") zu lösen aber das war erfolglos.
Ich habe so gesagt, dass ich zuerst die Aufgabe durch den Induktionsbeweis beweisen soll und danach weiter machen. Das habe ich gemacht und war sinnlos. Kann jemand mir vielleicht einen Tipp geben ? Oder mir sagen wie man bei solchen Aufgaben durchgehen soll?

Vielen Dank im Voraus
Viel Erfolg

Comments

In der Summe kommt überhaupt kein \(n\) vor. Kann es sein, dass \(n\) die obere Grenze der Summe ist, und nicht unendlich?

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@Tschakabumba

Ja genau, das ist ein n. Ich habe mich vertippt. Sorry :)

Answer 1

Hi. Eine andere Möglichkeit wäre, die Summenformel für die Reihe direkt zu berechnen und anschließend durch geeignetes Umformen der Terme die Werte für a,b und c abzulesen.

Lösungsvorschlag:

Definiere \( S_n := \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{k}{q^k} \), für \( 1<|q| \) , als die n-te Partialsumme der Reihe.
$$ S_n = \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{k}{q^k} = \dfrac{1}{q}+\dfrac{2}{q^2}+\dfrac{3}{q^3}+\dfrac{4}{q^4}+\dots+\dfrac{n}{q^n}\\ $$
Man multipliziere \( S_n \) mit \( q \) :
$$ \begin{array}{rcl} q\cdot S_n & = & q \cdot \sum\limits_{k=1}^{n} \dfrac{k}{q^k} \\\\ & = & 1+\dfrac{2}{q}+\dfrac{3}{q^2}+\dfrac{4}{q^3}+\dots+\dfrac{n}{q^{n-1}} \\\\ & = & 1+\biggl(\dfrac{1}{q}+\dfrac{1}{q}\biggr)+\biggl(\dfrac{1}{q^2}+\dfrac{2}{q^2}\biggr)         +\biggl(\dfrac{1}{q^3}+\dfrac{3}{q^3}\biggr)+\dots+\biggl(\dfrac{1}{q^{n-1}}+\dfrac{n-1}{q^{n-1}}\biggr)\\ & = & \biggl( 1+\dfrac{1}{q}+\dfrac{1}{q^2}+\dfrac{1}{q^3}+\dots+\dfrac{1}{q^{n-1}}\biggr)       +\biggl(\dfrac{1}{q}+\dfrac{2}{q^2}+\dfrac{3}{q^3}+\dots+\dfrac{n-1}{q^{n-1}}\biggr)\\\\ & = & \sum\limits_{k=0}^{n-1} \dfrac{1}{q^k} + \sum\limits_{k=1}^{n-1} \dfrac{k}{q^k} \\\\ & = & \sum\limits_{k=0}^{n-1} \dfrac{1}{q^k} \;\;+  \;\;\sum\limits_{k=1}^{n-1} \dfrac{k}{q^k} \;\; + \dfrac{n}{q^{n}} - \dfrac{n}{q^{n}} \\\\ & = & \sum\limits_{k=0}^{n-1} \dfrac{1}{q^k} \;\;+ \;\; \underbrace{\sum\limits_{k=1}^{n} \dfrac{k}{q^k}}_{=S_n} \;\; - \dfrac{n}{q^{n}} \\ & = & \underbrace{\sum\limits_{k=0}^{n-1} \dfrac{1}{q^k}}_{} \;\;+ \;\; S_n - \dfrac{n}{q^{n}} \;\;\;\;\;\;\;\;\text{\textit{(geometrische Reihe)}}\\ & = & \dfrac{1-(\frac{1}{q})^n}{1-\frac{1}{q}} + S_n - \dfrac{n}{q^{n}} \end{array} $$
  Daraus folgt:
$$ \begin{array}{l}   q\cdot S_n = \dfrac{1-\frac{1}{q^n}}{1-\frac{1}{q}} + S_n - \dfrac{n}{q^{n}} \\\\   \Leftrightarrow\; (q-1)\cdot S_n = \dfrac{1-\frac{1}{q^n}}{1-\frac{1}{q}} - \dfrac{n}{q^{n}} \\\\ \Leftrightarrow\; \color{green} S_n = \dfrac{q^{n+1}-q\cdot(n+1)+n}{q^n \cdot(q-1)^2} \\\\ \Leftrightarrow\; \color{red} S_n = \dfrac{1}{q^n}\cdot \biggl( \dfrac{q}{(q-1)^2}\cdot q^n + \dfrac{1}{(q-1)^2}\cdot n - \dfrac{q \cdot (n+1)}{(q-1)^2} \biggr) \\\\ \end{array} $$
Man kann nun in obiger Gleichung ablesen, dass

$$ \begin{array}{rcl} a & = & \dfrac{q}{(q-1)^2} \\\\ b & = & \dfrac{1}{(q-1)^2} \\\\ c & = & -\dfrac{q \cdot (n+1)}{(q-1)^2} \\\\ \end{array} $$

Ich hoffe, es hilft.

MfG.

Comments

Hi, das ist ein cooler Weg! Eine Kleinigkeit: Es wird \(1<|q|\) betrachtet und die geometrische Reihe lautet \(\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{1}{q^k}\), welche nur für \(|q|<1\) konvergiert. Oben hast du aber die geometrische Summenformel $$ \sum\limits_{k=0}^n \frac{1}{q^k}=\frac{1-\frac{1}{q^{n+1}}}{1-\frac{1}{q}},\quad q\neq 1$$ verwendet.

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HI hallo97. Vielen Dank für deinen Kommentar. Allerdings ist alles, was ich geschrieben habe, vollkommen richtig. Ich glaube, was dich zu deinem Missverständnis geführt hat, ist der Quotient q in der geometrischen Reihe (https://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe). Was du meinst ist diese Reihe \( \sum\limits_{k=0}^{\infty} q^k \). Sie konvergiert zweifelsfrei für \( |q| < 1 \). In diesem Fall haben wir die Reihe \( \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{1}{q} \), für \( |q| > 1 \) bzw. \( \frac{1}{|q|} < 1 \) . Sie konvergiert ebenfalls und unterscheidet sich von der erstgenannten Reihe überhaupt nicht, bis auf die Schreiweise. Was du verwechselt hast, ist die Schreibweise für den Quotienten \( q \) (wobei \( |q| < 1 \)) in der erstgenannten geometrischen Reihe und den Quotienen \( \frac{1}{q} \) (wobei \( \frac{1}{|q|} < 1 \)) in der letzten geometrischen Reihe. In dieser Aufgabe haben wir \( |q| > 1\), daher ist selbstverständlich \( \frac{1}{|q|} < 1\), was ich verwendet habe. Ich hoffe, ich konnte dein Missverständnis beseitigen. MfG.

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Ah stimmt. Danke.

Answer 2

Hallo, eine Möglichkeit wäre zunächst einmal die ersten drei Partialsummen mal hinzuschreiben:

\(\sum \limits_{k=1}^{1}\frac{k}{q^{k}}=\frac{1}{q}\stackrel{!}{=}\frac{aq+b+c}{q}\)

\(\sum \limits_{k=1}^{2}\frac{k}{q^{k}}=\frac{1}{q}+\frac{2}{q^2}\stackrel{!}{=}\frac{aq^2+2b+c}{q^2}\)

\(\sum \limits_{k=1}^{3}\frac{k}{q^{k}}=\frac{1}{q}+\frac{2}{q^2}+\frac{3}{q^3}\stackrel{!}{=}\frac{aq^3+3b+c}{q^3}\).

Beim genauen Betrachten hat man ein lineares Gleichungssystem mit drei Gleichungen und drei Variablen \(a,b\) und \(c\), da bereits \(q\) ein Parameter ist mit der Eigenschaft \(|q|>1\). Tipp: Bevor man dieses System löst, empfielt es sich erstmal die Nenner durch Multiplizieren zu eleminieren. Dann kann man mit dem Lösen anfangen.

Somit hat man bereits für \(n=1,2,3\) die Formel (auf der rechten Seite) im Prinzip gezeigt. Um nun die Gültigkeit für alle \(n\in \mathbb{N}_{\geq 1}\) zu zeigen musst du dann den Induktionsbeweis durchführen.