Differentialgleichung 2. Ordnung + AWP

Question

Aufgabe:

a) Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung

\( \ddot{x}(t)-4 \dot{x}(t)+3 x(t)=0 . \)

b) Geben Sie die Lösung mit Anfangsdaten

\( x(0)=1, \quad \dot{x}(0)=-1 \)
an.

Problem/Ansatz:

Hey mit den Differenzialgleichungen tue ich mich leider echt schwer kann mir jemand helfen?

Answer 1

Hallo,

x'' -4x'+3x=0

Ansatz:

x(t)=e^(kt) , 2Mal ableiten und in die DGL einsetzen

->Charakteristische Gleichung:

k^2-4k+3=0

k_1.2= 2±√(4-3)

k1=3 ->x₁=C₁ e^t

k₂=1 -->x₂=C₂ e^(3t)

x= C₁ e^t +C₂ e^(3t) ->AWB in die Lösung einsetzen

x'= C₁ e^t +3 C₂ e^(3t)

x(0)=1: 0=C₁ +C₂

x'(0)=-1: -1= C₁ +3C₂

------>

 1) 1=C₁ +C₂

2) -1= C₁ +3C₂

1-2: 2= -2C₂ ----->C₂= -1 ->C₁= 2

-->

Lösung: x= 2 e^t - e^(3t)