Algorithmus einer Differentialgleichung(2 Aufgaben)

Question

Hallo Commiunity,


ich brauche unbedingt Hilfe!! Es geht um Differentialgleichung ich hab erst jetzt gemerkt das ich damit irgendwie gar nicht klar komme und bin nun verzweifelt. Ich schreibe mal die Aufgabestellung rein ich hoffe auf eine Antwort ich wäre sehr Dankbar.

1.

Beschreiben Sie einen Algorithmus auf der Grundlage einer
Differenzengleichung, in dem Sie schrittweise eine Berechnung
in der Form x(i+1)=f(x(i)) wählen.

2.

Lösen Sie den Verlauf folgender Differenzengleichung
x(i+1)= a x(i) unter der Bedingung, dass a eine Konstante von
a= 1 bzw. a= -1 sei. Gehen sie von x0 = 10 aus. Stellen Sie das
Ergebnis grafisch dar.
Welche analytische Funktion erwarten Sie?

Comments

Also ich hoffe ich habe die Frage jetzt richtig verstanden: eine gewöhnliche Differentialgleichung hat immer die Form x'=g(x). Jetzt schreibst du die linke Seite als Differenzenquotient: (x(i+1)-x(i))/h=g(x(i)). und bringst das jetzt in die form x(i+1)=f(x(i)):

also x(i+1)=x(i)+h*g(x(i)).

Das wäre dann die Lösung von 1.

Vielleicht guckt mal jemand drüber ob er das genauso versteht....

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"Es geht um Differentialgleichung..."

Eigentlich geht es doch eher um Differenzengleichungen, so, wie es in den beiden Aufgaben auch ausgeführt wird. Der Titel und der Einleitungsabsatz sind irreführend...

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Aber was soll man für einen Algorithmus entwickeln?

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Das Problem ist so wurde die Aufgabenstellung gestellt deswegen bin ich ja verwirrt. Also vielleicht hilft das ja weiter. Es geht darum das ich einen Vortrag zum Thema Algorithmus halten soll am Anfang kläre ich kurz was ein Algorithmus im Allgemeinen ist und welche Rolle er für die Informatik spielt. Anschließend soll ich die oben genanneten Aufgaben in meinen Vortrag mit einbinden.

Nur habe ich das Problem das ich mit Differentialgleichungen nicht klar komme ich denke ich soll einfach eine Differentialgleichung aufstellen die zu diesem Resultat kommt ich weiß es aber nicht genau

Aber trotzdem danke für schnelle Antworten.

Answer 1

möglicherweise meinst du das Eulerverfahren zur Lösung des Anfangswertproblems

y' = f(x,y)  mit  y(x₀) = y_o.

Definiere Stützstellen  x₀ < x₁ < x₂ < ... < x_n.

Bezeichne die Näherungswerte für  y(x_i)  mit  y_i.

Ersetze  y'(x_i)  durch  den Differenzenquotienten y'(x_i) ≈ (y_i+1 - y_i) / (x_i+1 - x_i).

Das Verfahren lautet dann

y_i+1 = y_i + (x_i+1 - x_i)·f(x_i,y_i).

Comments

Bezieht sich deine Antwort auf die erste Aufgabe?

Wenn ja wäre es möglich das du auch eine Antwort zur zweiten hättest ich wäre dir wirklich sehr dankbar dafür! :-)

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Ja, die Antwort bezieht sich auf den ersten Teil. Das Eulerverfahren kannst du auch bei Wikipedia nachlesen. Es ist mir aber nicht ganz klar, was mit dem zweiten Teil gemeint ist. Möglicherweise meinst du  x_i+1 = a + x_i. Das hieße dann, dass die Stützstellen so gewählt werden, dass der Abstand zweier aufeinanderfolgender Stützstellen konstant ist, z.B.  x₀ = 10, x₁ = 11, x₂ = 12, x₃ = 13, etc. Allerdings fehlt die Angabe einer konkreten Funktion  f(x,y), womit man die Anfangswertaufgabe numerisch lösen könnte. Ist eine solche Funktion gegeben oder musst du dir selber eine ausdenken?

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ich glaube es soll die gleiche Funktion wie in 1.) verwendet werden ansonsten weiß ich das leider auch nicht wie würdest du denn vorgehen also lieber ausdenken kann ich mir aber irgendwie nicht vorstellen wobei am ende steht ja die Frage "Welche analytische Funktion erwarten Sie?"

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Das ist das Problem. Im ersten Teil kommt  f  zwar vor, aber es ist keine konkrete Funktion angegeben. Daher kann man zwar allgemein einen Algorithmus beschreiben (siehe Antwort), aber eine konkrete Lösungsfunktion kann man nur ermitteln, wenn man auch ein  f  hat. Wie lautet denn dein  f ?

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wüsste jetzt auch kein konkretes... f(x) wäre auch zu allgemein oder?

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Vorschlag:  Löse numerisch die DGL  y' = y  mit der Anfangsbedingung  y(0) = 1 mit dem oben beschriebenen Algorithmus. Wenn du das Ergebnis wie im zweiten Teil gefordert, graphisch darstellst, könntest du eine Exponentialfunktion als Lösung erwarten. Die exakte Lösung  y = e^x  bestätigt die Vermutung. Vielleicht geht es in diese Richtung ?

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Ja macht sinn nur wollte kurz anmerken die Vorbedingungen das es ein a gibt [1,-1] und x0=10 also wäre ja y(0)=10 oder was denkst du? soll ich das a weglassen dann?! wobei 1 beeinflusst es ja nicht nur die -1 wandelt die werte ja in Minus um. Ist der Graph dann immernoch eine normale Exponential Funktion. Ich werde es wohl mit GeoGebra machen momentan steht da y= e^x+10

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Sollte das nicht  y = 10·e^x  heißen?

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wieso denn 10mal e^x ich dachte x0=10 heißt das in Stelle f(0) y=10 ist. Wenn dann müsste das a doch auch 10 sein weil es ja der Vorfaktor ist aber x0 ist ja sozusagen das c. Deswegen dachte ich das y= e^x+10.

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Das ist so nicht richtig. Du meinst  x₀ = 0  und  y₀ = y(x₀)  =  y(0)  = 10.