Grenzwert der Folge bestimmen: lim((n^2+3n^{4/3})^{1/3}-n^{2/3}) (n→∞)

Question

ich habe als Aufgabe die Grenzwerte mehrerer Folgen mithilfe der Dritten Binomischen Formel zu ermitteln, alle Aufgaben gingen eigentlich, nur bei der einen komme ich nicht weiter,ich hoffe mir kann jemand helfen.

1.) lim((n^2+3n^{4/3})^{1/3}-n^{2/3})  (n→∞)

Ich habe es anfangs folgendermaßen erweitert:

(n^2+3n^{4/3})^1/3-n^{2/3} = (n^2+3n^{4/3})^{1/3}-n^{2/3}*((n^2+3n^{4/3})^1/3+n^{2/3})/((n^2+3n^{4/3})^{1/3}+n^{2/3})

hier habe ich dann einfach mit "1" Multipliziert und dann im Zähler das dritte Binom, nun komme ich hier nicht mehr weiter, wenn ich das aus multipliziere etc. komme ich immer auf das falsche Ergebnis.

lg

Comments

Kannst du nicht erst mal n^{2/3} vor die linke Wurzel nehmen und dann ausklammern?

Das könnte (muss aber nicht ) die Rechnung danach etwas vereinfachen.

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Danke erstmal für deine Antwort, aber dies hatte ich auch schon versucht, ich komme immer auf den Grenzwert unendlich, aber das richtige Ergebnis ist 1.

Ich komme leider nicht mehr weiter und hänge bei dieser Aufgabe komplett.

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Siehe unten. Dritter Binomi war ganz heiß :).

Answer 1

Hi,

Du hattest die Idee mit der dritten binomischen Formel. Die Idee ist gut. Immer bei Aufgaben solcher Gestalt. Allerdings in modifizierter Form. \(a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)\)

Ist etwas Schreibarbeit, deswegen arbeite ich nicht ganz 100% sauber. Also bitte aufpassen ;).

$$\lim \sqrt[3]{n^2+3n^{\frac43}} - n^{\frac23}  $$

Nun wird mit "\(a^2+ab+b^2\)" erweitert. Dabei ist \(a = (n^2+3n^{\frac43})^{\frac13}\) und \(b =n^{\frac23}\)

$$=\lim \frac{n^2+3n^{\frac43}-n^{2}}{(n^2+3n^{\frac43})^{\frac23} + (n^2+3n^{\frac43})^{\frac13}\cdot n^{\frac23} + n^{\frac43}}$$

Nun werde ich etwas rigoros und entferne alles unwichtige im Nenner. Also Potenzen von geringem Grade. Der Zähler wird zusammgefasst:

$$=\lim \frac{3n^{\frac43}}{(n^2)^{\frac23} + (n^2)^{\frac13}\cdot n^{\frac23}+n^{\frac43}}$$

$$=\lim \frac{3n^{\frac43}}{n^{\frac43} + n^{\frac43}+n^{\frac43}}$$

$$=\lim \frac{3n^{\frac43}}{3n^{\frac43}} = 1$$

Alles klar? :)

Grüße

Comments

Vielen Danke, ich bin immer mit a^2-b^2 an die Sache gegangen und hatte diese Art von "Binom" komplett außer Acht gelassen.