Bestimmen Sie den Grenzwert lim n→∞ an=: a der Folge (an)N∈ℕ = (n²+1) \ (n²+n)n∈ℕ .

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie den Grenzwert lim n→∞ a_n=: a der Folge (a_n)_N∈ℕ = (n²+1) \ (n²+n)_{n∈ℕ .} Bestimmen Sie weiters für ε:=1/100 ein N_0 ∈ℕ, sodass, |a_n - a| <ε . Für alle n≥n₀

Problem/Ansatz:

Kann mir bitte jemand helfen den Grenzwert für diese Folge zu bestimmen?

Answer 1

Aloha :)

Formen wir die Folge ein wenig um$$a_n=\frac{n^2+1}{n^2+n}=\frac{n^2+n-(n-1)}{n^2+n}=1-\frac{n-1}{n^2+n}$$können wir den Grenzwert \(a=1\) vermuten.

$$\left|a_n-a\right|=\left|\left(1-\frac{n-1}{n^2+n}\right)-1\right|=\frac{n-1}{n^2+n}\stackrel!<\varepsilon$$

Wir müssen ein \(n_0\) bestimmen, sodass die Forderung für alle \(n\ge n_0\) gilt:

$$\frac{n_0-1}{n_0^2+n_0}<\frac{n_0}{n_0^2+n_0}=\frac{1}{n_0+1}<\varepsilon\implies n_0+1>\frac{1}{\varepsilon}\implies n_0>\frac{1}{\varepsilon}-1$$

Für \(\varepsilon=\frac{1}{100}\) wäre also \(n_0=99\).