Gilt lim n→∞ (an + bn) = c für ein c ∈ ℝ, so sind sowohl (an)n∈ℕ als auch (bn)n∈ℕ konvergent?

Question

Aufgabe:

Zeige oder Wiederlege:

Es seien  (a_n)_n∈ℕ,(b_n)_n∈ℕ  Folgen. Gilt lim_n→∞ (a_n + b_n) = c für ein c ∈ ℝ, so sind sowohl (a_n)_n∈ℕ als auch (b_n)_n∈ℕ konvergent.  

Ich weiß leider gar nicht wie ich bei dieser Aufgabe vorgehen soll. Muss ich hierfür mit diesem c arbeiten oder kann ich das c außen vor lassen? Das c ist ja der Grenzwert von a_n + b_n, , aber wie gehe ich von dort aus weiter vor um zu beweisen, dass a_n und b_n konvergent sind?

Danke schon mal für die Antworten!

Answer 1

nimm für \( (a_n) \) irgendeine divergente Folge, für \( (b_n) \) das negative davon.

Grüße,

M.B.

Comments

also ist der Grenzwert 0 und es konvergiert

Answer 2

Tipp: Suche ein Gegenbeispiel . 

Kennst du eine Folge, die nicht konvergiert? Wenn ja: Welche? 

Comments

Ohje, da fällt mir im Moment kein Gegenbeispiel ein. Aber kann ich das nicht einfach ohne Beispiel zeigen?

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Ein Gegenbeispiel anzugeben ist in der Regel das einfachste, wenn du eine Behauptung widerlegen sollst.

Du kennst gar kein nicht konvergente Folge? 

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Doch, a_n = (-1)ⁿ  ist eine nicht konvergente Folge, aber ich weiß nicht wie ich damit vorgehen soll.

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Gut. Jetzt noch eine Folge b_(n), die in der Summe mit deiner Folge dann konvergiert, weil z.B. immer 2 rauskommt. 

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Das funktioniert doch gar nicht, da ich für a_n dann keinen Grenzwert habe?

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Was ist denn mit bn:= 2 - (-1)^n ? 

Und nun die beiden addieren für cn  ? 

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Tut mir leid, aber ich versteh es im Moment überhaupt gar nicht!

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cn = an + bn = (-1)^n + (2 - (-1)^n) = ? 

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Also wenn ich jetzt zum Beispiel für an=n und für bn = -n nehme, dann kommt bei an+bn = 0 raus, d.h. das 0 c ist und konvergent ist oder?