Bestimme den Grenzwert: lim {n→∞} { √(n²+1) - √(n²-1) }

Question

Wäre es möglich, dass ihr mir bei dieser Aufgabe mit der Lösung helft? Ich habe die schön gelöst, aber ich bin mir mit meinen Ergebnissen unsicher. Mit dem Lösungsweg wäre es super!

Es seien n ∈ ℕ, x ∈ ℝ. Bestimme, falls existent, folgende Grenzwerte:

a) \( \lim \limits_ { n \rightarrow \infty } \left( \sqrt { n ^ { 2 } + 1 } - \sqrt { n ^ { 2 } - 1 } \right) \)

b) \( \sum _ { k = 2 } ^ { n } \frac { 2 ^ { k } } { 5 ^ { k + 2 } } \)

c) \( x \cdot \log \left( \frac { x + 1 } { x - 1 } \right) \)

Answer 1

a)  Setze den Nenner 1 unter den Term und erweitere dann den Bruch mit

√(n^2 + 1) +  √(n^2 - 1) .  Dann gibt es mit der 3. bino. Formel

= (  (n^2 + 1 )  -  ( n^2 - 1 )  )   /       (√(n^2 + 1) +  √(n^2 - 1))

=          2     /        (√(n^2 + 1) +  √(n^2 - 1))

Das ist ein Bruch mit konstantem Zähler und Nenner,

der gegen unendlich geht. Also insgesamt Grenzwert 0.

b) und c) sind doch gar keine Grenzwerte.

Comments

b) Summenwert:

1/25* (4/25)//1-2/5)) = ...

https://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe

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hi , für 1 habe ich die genau so gemacht und für die reihe habe ich sie ein bisschen umgeformt bis ich wirklich auf die geo reihe kam mit einer konstanten Zahl und habe 4/375 als wert der reihe bekommen

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aber bin ich mir bei der c nicht sicher weil x ja gegen nichts strebt oder verstehe ich es falsch ?

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bei b) ist n---> ∞ und bei c) x---> ∞ (andere Werte ergeben keinen Sinn)

Answer 2

b) hier stimmt dein Ergebnis

c) nimm den Grenzwert e hoch, also betrachte

$$\lim\limits_{x\to\infty} e^{xlog((x+1)/(x-1))}=\lim\limits_{x\to\infty} ((x+1)/(x-1))^x=\lim\limits_{x\to\infty} (1+\frac{2}{x-1})^x=\lim\limits_{z\to\infty} (1+\frac{2}{z})^{z+1}\\ =\lim\limits_{z\to\infty} (1+\frac{2}{z})^{z}*\lim\limits_{z\to\infty} (1+\frac{2}{z})^{1}=e^2*1\\$$

Also ist der gesuchte Grenzwert =2

Comments

Danke sehr für die nachvollziehbare Lösung aber sollte es bei dir nach dem ersten Gleichzeichen nicht mal x statt hoch x ? ^^ verbessere mich bitte , indem du sagst wie es ging . Danke

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Hier wurde das Potenzgesetz $$e^{ab}=(e^{a})^b$$ verwendet.

Mit

$$ a=log(...),b=x$$

e und log(...) heben sich dann weg.

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ach so ja stimmt ! danke

kannst du au no diese Aufgabe lösen ? (2) https://www.mathelounge.de/574317/grenzwerte-berechnen weil anscheinend kannst du mit den ln , log , e gut umgehen haha ! Danke