Wie bestimme ich hier den Grenzwert? lim n→∞ ((1+1/n)^{n} * (2n^{2}+4)n^{2})/n^{2})

Question

Aufgabe:

lim n→∞ ((1+1/n)ⁿ * (2n²+4)n²)/n²)

Problem/Ansatz:

Ich weiß hier leider gar nicht wie ich den Grenzwert bestimmen kann. Könnte mir jemand helfen bitte?

Comments

Ist es

\( \lim\limits_{n\to\infty} \) ( ( 1 + \( \frac{1}{n} \) )ⁿ  * ( \( \frac{\frac{2n^2 + 4}{n^2}}{n^2} \) ) )

?

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Fast. Bei der zweiten Klammer ist ein n hoch 2 zu viel. Also: (2n²+4)/n²)

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ok ..................... (Füllpunkte)

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Es ist mir immer noch nicht klar ob es am Ende (2n^2+4)n^2/n^2 oder (2n^2+4)/n^2 ist. Deine Aussagen stimmen nicht überein

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Das was du als zweites geschrieben hast :)

Answer 1

 

ich vermute mal, dass es so gemeint ist:

\( \lim\limits_{n\to\infty} \) ( ( 1 + \( \frac{1}{n} \) )ⁿ  * ( \( \frac{2n^2 + 4}{n^2} \) ) )

\( = \lim\limits_{n\to\infty} \) ( 1 + \( \frac{1}{n} \) )ⁿ   *   \( \lim\limits_{n\to\infty} \) ( \( \frac{2n^2 + 4}{n^2} \) ) 

auf der linken Seite mit \( \lim\limits_{n\to ± ∞} \) ( 1 + \( \frac{1}{n} \) )ⁿ = e den allgemeinen Grenzwert bestimmen und auf der rechten Seite zB. mit L´Hopital-Regel:
\( \lim\limits_{n\to\infty} \) ( \( \frac{2n^2 + 4}{n^2} \) ) 
\(= \lim\limits_{n\to\infty} \) \( \frac{\frac{d}{dn} (2n^2 + 4) }{\frac{d}{dn} (n^2)} \)
\(= \lim\limits_{n\to\infty} \) \( \frac{4n}{2n} \)
\( =\lim\limits_{n\to\infty} \) 2    =   2

also ist der Grenzwert e * 2 = 2e

Comments

Vielen Dank! Woher weiß man auf der linken Seite, dass es gleich e ist?