Grenzwert lim n→∞ von √(8n^3 - 1) - √(8n^3) . Differenz von Wurzeln.

Question

dn=\sqrt { 8{ n }^{ 3 }-1 } -2\sqrt { 2 } { n }^{ \frac { 3 }{ 2 }  }l

im n→∞

$$dn=\sqrt { 8{ n }^{ 3 }-1 } -2\sqrt { 2 } { n }^{ \frac { 3 }{ 2 }  }$$

Kann mir jemand den Lösungsweg zeigen? Ich weiß nicht wie ich hier vorgehen soll.

Answer 1

\sqrt { 8{ n }^{ 3 }-1 } -\sqrt { 8{ n }^{ 3 } }

√(8n^3 - 1) - √(8n^3)

= (√(8n^3 - 1) - √(8n^3))(√(8n^3 - 1) + √(8n^3))/(√(8n^3 - 1) + √(8n^3))

. |Ab hier benutzt, dass n> 1

= (8n^3 - 1 - (8n^3))/(√(8n^3 - 1) + √(8n^3))

= -1 /(√(8n^3 - 1) + √(8n^3)) |Grenzwert n --> unendlich

-------> 0.

Anmerkung: Differenzen von Wurzeln, kannst du oft mit dem 3. Binom besser in der Griff bekommen.

Beachte daher auch die "ähnlichen Fragen" bei denen Differenzen von Wurzeln vorkommen.

Comments

alles klar jetzt hab ich verstanden.Danke.

Bei deiner anmerkung schreibst du differenzen von wurzeln, aber gilt das nicht auch für summen?

und nochmals danke für die Hilfe

Answer 2

Wenn du deinen zweiten Summanden umschreibst und die Vorfaktoren in die Wurzel ziehst, erhältst du:
$$2*\sqrt { 2 } *\sqrt { { n }^{ 3 } } =\quad 2*\sqrt { { 2n }^{ 3 } } =\quad \sqrt { 4*2*{ n }^{ 3 } } =\quad \sqrt { 8*{ n }^{ 3 } }  $$
Reicht dir das?

Comments

ehrlich gesagt nicht. ich habe nicht verstanden was man davon haben soll.Wäre nett wenn sie mir das vielleicht anders erklären könnten

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Setze das doch in die Gleichung ein:

$$\sqrt { 8{ n }^{ 3 }-1 } -\sqrt { 8{ n }^{ 3 } }  $$

Jetzt siehst du doch direkt den Grenzwert.

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Aber ist das denn nicht ∞ - ∞ und damit undefiniert? sorry ich verstehs nicht

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Da steht in beiden Summanden doch beinahe das selbe für sehr große n.
Das heißt doch, dass wenn n gegen unendlich läuft, so nehmen die Wurzeln einen Wert an, der sich immer mehr und mehr annähert.
Der Grenzwert ist damit 0.

Answer 3

Ich wiederhole mich.

https://www.mathelounge.de/235787/hilfe-bei-grenzwertberechnung

Zunächst mal substituieren wir x := 8 n ³

lim sqr ( x - 1 ) - sqr ( x )     ( 1 )

Bitte beschäftige dich unter dem angegebenen Link mit dieser z-Transformation, einer verallgemeinerten ===> Inversion am Einheitskreis ( die Technik an sich ist ja uralt. ) Nennen wir sie die LG-Transformation; L wie L-y-c-o-s ( ein Unwort in diesem Forum ; der Editor beißt es weg ) und G wie Godzilla. Die Transformationsformel lautet

x ^ k := 1 / z ^ n     ( 2a )

wobei k die höchste Potenz von x ist ( also k = 1 ) und n die Ordnung der Wurzel ( also n = 2 wegen quadratwurzel )

k   = 1 ; n = 2 ===> x = 1 / z ²    ( 2b )

Dann wird ( 1 )   ( übrigens ganz analog dem Beispiel in dem Link )

sqr ( x - 1 ) - sqr ( x ) = ( 1/z ) [ sqr ( 1 - z ² ) - 1 ]     ( 3a )

Jetzt denk mal nach. Wer hat jetzt Recht? Dieser Limes n ===> ( °° ) oder ich bzw. dieses anonyme Genie von L-y-c-o-s?  In ( 3a ) taucht eine Funktion auf, die du irgendwo schon mal gesehen haben dürftest: der Einheitskreis

f ( z ) := sqr ( 1 - z ² )   ( 3b )

Und zwar ist ( 3a ) doch nichts anderes als die SEHNENSTEIGUNG des EINHEITSKREISES , genommen zwischen z0 = 0 und der beliebigen Stelle z . Im Grenzwert z ===> 0 ergibt das die Tangentensteigung; und auch ohne Rechnung weißt du: Die ist Null.