Grenzwert von ( √(n^2- 1)) - (√(n^2 + n)) ermitteln für n gegen +unendlich?

Question

muss den Grenzwert ermitteln.. dafür muss ich aber  a_n=( √n²-√1)  - (√n²+√n)   anscheinend rational machen.. die lösung wäre -1/2

 

Anm (Lu) : Du meinst hier offenbar:

( √(n²- 1))  - (√(n² + n)) 

Comments

 

bist Du Dir sicher, dass die Aufgabe wirklich so lautet?

Wenn ich a_n auflöse, kommt heraus:

-√1 - √n =

- (1 + √n)

Ich sehe aber so keine Möglichkeit zu zeigen, dass

1 + √n = 1/2

??

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Du meinst hier 

( √(n²- 1))  - (√(n² + n)) 

wenn das Resultat stimmen soll. Vgl. mein Kommentar unten.

Answer 1

Wie Brucybabe schon festgestellt hat, muss man annehmen, dass du nicht  das meinst, was du geschrieben hast.

Gib deine Formel z.B. hier ein, bis die Zeile 'Input' so aussieht, wie auf deinem Blatt.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28+√%28n%5E2-√1%29%29++-+%28√%28n%5E2%2B√n%29%29

Grenzwert wäre bei dieser Interpretation 0.

Comments

Folgendermassen käme tatsächlich -1/2 raus.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28+√%28n%5E2-+1%29%29++-+%28√%28n%5E2+%2B+n%29%29

( √(n^2- 1))  - (√(n^2 + n)) =

√((n+1)(n-1)) - √(n(n+1)) = 

√(n+1) (√(n-1) - √n))

                   |Erweitern mit √(n-1) + √n

= √(n+1) ((n-1) - n) / (√(n-1) + √n)

= - √(n+1) / (√(n-1) + √n)

Jetzt oben und unten durch √n

= - √((n+1)/n) / ( √((n-1)/n) + √(n/n))

= -√(1 + 1/n) / (√(1 - 1/n) + 1)

Jetzt Limes n gegen unendlich vom letzten Term. Die beiden 1/n → 0

und der Grenzwert ist - √1/(√1 + √1) = -1/2.

Trick war also erst mal das Erfinden eines Bruchs: √(n+1) (√(n-1) - √n)) = ( √(n+1) (√(n-1) - √n)) ) /1

Zudem die Erweiterung mit dem 3. Binom.