Produkt aus Summe zweier Quadratzahlen läßt sich wieder als Summe zweier Quadratzahlen schreiben

Question

Ich soll zeigen, dass sich das Produkt aus den Summen zweier Quadratzahlen wieder als Summe zweier Quadratzahlen schreiben lässt.

Wie gehe ich dort am besten vor?

Comments

das ist eine frage der aktuellen matheolympiade, also: bitte löschen!

Answer 1

Ich zeige die Behauptung zunächst für n = 2.

 

Voraussetzung:

Seien x und y zwei natürliche Zahlen, die sich jeweils als Summe der Quadrate zweier natürlicher Zahlen darstellen lassen, also x = a ² + b ²  und y = c ² + d ² mit a, b, c, d ∈ N.

Behauptung:  

Dann ist auch das Produkt x * y als Summe der Quadrate zweier natürlicher Zahlen darstellbar, es gilt also:

x * y = e ² + f ² mit e, f ∈ N

Beweis:

x * y = ( a ² + b ² ) ( c ² + d ² )

= a ² c ² + a ² d ² + b ² c ² + b ² d ²

= ( a c ) ² + ( a d ) ² + ( b c ) ² + ( b d ) ²

[Der Übersicht halber führe ich neue Bezeichner für die Quadrate ein:]

=  p ² + q ² + r ² + s ²

[Jetzt kommt ein kleiner "Trick": Ich füge zu diesen Quadraten ein lineares Glied hinzu und subtrahiere es gleich wieder, sodass sich binomische Formeln anwenden lassen:]

= p ² + q ²  + r ² + s ² + 2 * p  * s - 2 * p * s

[Ein wenig umordnen:]

= ( p ² + 2 * p * s + s ² )  + ( q ² - 2 * p * s + r ² )

[Und jetzt kommt der große "Trick" Es gilt:

2 * p * s = 2 * ( a * c ) * ( b * d ) = 2 * ( a * d ) * ( b * c ) = 2 * q * r

Ich kann also 2 * p * s durch 2 * q * r ersetzen:]

= ( p ² + 2 * p * s + s ² )  + ( q ² - 2 * q * r  + r ² )

[Und nun kann ich einmal die erste und einmal die zweite binomische Formel "rückwärts" anwenden:]

= ( p + s ) ² + ( q - r ) ²

x * y ist also tatsächlich als Summe von Quadraten darstellbar.

q.e.d.

 

Man kann nun noch ( p + s ) ² + ( q - r ) ² durch die ursprünglichen Bezeichner zurückersetzen und erhält:

x * y = ( a ² + b ² ) ( c ² + d ² ) = ( a c + b d ) ² + ( a d - b c ) ²

Damit kann man nun sofort die Summe der Quadrate angeben, als die sich das Produkt zweier gegebener Summen von Quadraten darstellen lässt.

Beispiel:

Sei x = 5 = ( a  ² + b ² ) = ( 1 ² + 2 ² ) und y = 25 = ( c ² + d ² ) = ( 3 ² + 4 ² )

Dann ist: x * y = 125 = ( 1 * 3  + 2 * 4 ) ² + ( 1 * 4 - 2 * 3 ) ² = ( 3 + 8 ) ² + ( 4 - 6 ) ² = 11 ² + ( - 2 ) ² = 121 + 4 = 125

 

Nun versuche ich, per vollständiger Induktion zu zeigen, dass die obige Behauptung auch für n > 2 gilt, das also gilt:

Behauptung:

Seien x₁, x₂, ...., x_n n natürliche Zahlen, die sich jeweils als Summe der Quadrate zweier natürlicher Zahlen schreiben lassen. Dann gilt:

P_n = x₁ * x₂ * ... * x_n = e ² + f ² mit e, f ∈ N

Für n = 2 wurde die Behauptung schon bewiesen.

Annahme:

Für ein beliebiges, festes n gilt: P_n = x₁ * x₂ * ... * x_n = e ² + f ².

Zeige, dass dann für n + 1 gilt: P_n+1 = x₁ * x₂ * ... * x_n+1 = g ² + h ².

Beweis:

P_n+1 = P_n * x_n+1

[Aufgrund der Induktionsannahme kann P_n als Summe zweier Quadrate geschrieben werden, also:]

= ( e ² + f ² ) * x_n+1

[x_n+1 ist laut Voraussetzung ebenfalls eine Summe zweier Quadrate, sodass man hier also wieder ein Produkt aus zwei Summen je zweier Quadrate vorliegen hat. Für ein solches Produkt aber wurde einleitend bereits beweisen, dass es sich als Summe zweier Quadrate darstellen lässt, sodass also gilt:]

= g ² + h ²

Damit ist gezeigt, dass sich das Produkt beliebig vieler Summen je zweier Quadrate auch wieder als Summe zweier Quadrate darstellen lässt - und das war die Behauptung.

q.e.d.

Comments

Danke, super Antwort! :)
Aber kann man das auch irgendwie ohne Induktion lösen?

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Nun, man könnte argumentieren.

Wenn sich das Produkt zweier Zahlen, die sich jeweils als Summe von 2 Quadratzahlen schreiben lassen, als Summe zweier Quadratzahlen schreiben lässt, dann gilt für das Produkt dreier solcher Zahlen, dass sich das Produkt der ersten beiden dieser Zahlen als Summe zweier Quadratzahlen schreiben lässt und damit auch das Produkt aus diesem Produkt und der dritten Zahl.

Dasselbe gilt für das Produkt aus diesem Produkt dreier Zahlen und einer vierten Zahl usw.

Das ist allerdings nichts anderes, als eine in Worten ausgedrückte Form der von mir dargestellten Vollständigen Induktion. 

Etwas formaler ausgedrückt: 

Seien v = a ² + b ² und w = c ² + d ² zwei Zahlen, die sich jeweils als Summe von Quadratzahlen schrieben lassen. Dann gilt (wie einleitend gezeigt wurde):

v * w = e ² + f ²

Sei nun x = g ² + h ² , dann gilt:

( v * w ) * x = ( e ²+ f ²) * ( g ² + h ² ) = i ² + j ²

da ( v * w ) * x wieder das Produkt aus zwei Zahlen ( v * w ) und x ist, die sich jeweils als Summe zweier Quadratzahlen schreiben lassen.

Sei nun y = k ² + l ² , dann gilt:

( ( v * w ) * x ) * y = ( i ² + j ² ) * ( k ² + l ² ) = m ² + n ²

da ( ( v * w ) * x ) * y wieder das Produkt aus zwei Zahlen ( ( v * w ) * x ) und y ist, die sich jeweils als Summe zweier Quadratzahlen schreiben lassen.

usw.

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Man könnte es auch so sagen:


Hmm, ich hab bewiesen, dass das Produkt aus zwei Zahlen, die sich als Summe von 2 Quadratzahlen darstellen lassen, eine Zahl ist, die sich als Summe von 2 Quadratzahlen darstellen lässt.

Und wenn du dieses Produkt wiederum mit einer Zahl multiplizierst, die sich als Summe von 2 Quadratzahlen darstellen lässt, dann ist dieses neue Produkt ebenfalls eine Zahl, die sich als Summe zweier Quadratzahlen darstellen lässt...usw.

Answer 2

Da kann man nicht viel zeigen, weil es falsch ist. Z.B. sind 10(=1+9) und 5(=1+4) Summen zweier Qudratzahlen. Aber 10+5=15 kann man nicht als Summe zweier Quadratzahlen schreiben.

Comments

Ups, ich merke gerade, dass ich da totalen Mist geschrieben habe. Es war ja vom PRODUKT der Zahlen die Rede.

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Es heißt das Produkt dieser zahlen -> nicht 10+5=15, sondern 10*5=50 -> 50 lässt sich wieder als Summe zweier Quadratzahlen schreiben (49+1)