Zeigen Sie, dass das Produkt von zwei naturlichen Zahlen, die als Summe von drei Quadratzahlen darstellbar sind...

Question

Aufgabe 1.Zeigen Sie, dass das Produkt von zwei naturlichen Zahlen, die als Summe von
drei Quadratzahlen darstellbar sind, nicht unbedingt als Summe von drei Quadratzahlen darstellbar ist.

Aufgabe 2. Sei p eine Primzahl. Zeigen Sie: Es existiert k ∈ Z mit
(p − 1)! = kp − 1.

Problem/Ansatz:

Ich kenn mich leider mit diesen Zahlentheoretischen Beweistechniken nicht so aus - lieben dank.

Answer 1

Zeigen Sie, dass das Produkt von zwei naturlichen Zahlen, die als Summe von
drei Quadratzahlen darstellbar sind, nicht unbedingt als Summe von drei Quadratzahlen darstellbar ist.

(1^2 + 1^2 + 1^2)·(2^2 + 1^2 + 0^2)= 3·5 = 15

Kannst du 15 als Summe dreier Quadratzahlen darstellen?

Comments

Nein, weil 2² + 2² + 2² < 15    , 3² + 1² + 1² < 15, 3² + 2²+ 1² < 15

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Zu 1, kann man das auch verallgemeinern?

Und könnten Sie mir bitte auch bei der zweiten Aufgabe behilflich sein?

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Die zweite Aufgabe solltest du getrennt einstellen.

Eventuell kennst du

https://de.wikipedia.org/wiki/Drei-Quadrate-Satz

Damit bekommst du schnell alle Zahlen die sich nicht als Summe dreier Quadrate schreiben lassen.

7 = 7*1, 15 = 5*3, 23 = 23*1, 28 = 7*28, 31 = 31*1, 39=13*3, ...

Da brauchst du jetzt ja nur schauen welches produkt in Faktoren zerfällt, die selber durch die summe von drei quadraten darstellbar sind.