Zeigen Sie, dass n*m als Summe zweier Quadrate darstellbar ist. n:= u^2 + v^2; m:=a^2 + b^2.

Question

Seien n,m ∈ℕ als Summe zweier Quadrate darstellbar, das heißt n=u²+v² , m=a^2 +b² mit u, v, a, b∈ℕ₀ .

Zeigen Sie, dass auch n*m als Summe zweier Qudrate darstellbar ist.

Comments

sicher m=a^a +b^2 und nicht m=a^2 +b^2 ?

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Danke, sehr aufmerksam! :)

 

Answer 1

m·n = (u² + v²)·(a² + b²) = (u·a)² + (v·b)² + (u·b)² + (v·a)²
       = (u·a)² + 2·(u·a)·(v·b) + (v·b)² + (u·b)² - 2·(u·b)·(v·a) + (v·a)²
       = (u·a + v·b)² + (u·b - v·a)²
 

Answer 2

n = u^2 + v^2

m = a^2 + b^2

n * m = (u^2 + v^2) * (a^2 + b^2)

= (u^2) * (a^2 + b^2) + (v^2) * (a^2 + b^2)

= (u^2) * (a^2) + (u^2) * (b^2) + (v^2) * (a^2) + (v^2) * (b^2)

= (u*a)^2 + (u*b)^2 + (v*a)^2 + (v*b)^2

bis hierhin bist du sicher selbst gekommen?

Jetzt fehlt noch eine Umformung, die jeweils zwei Terme zusammenbringt zum Quadrat, damit nur noch 2 Quadrate übrig bleiben.

Comments

ich sitz jetzt schon 40 minuten dran und kriegs absolut nicht hin. Meine idee ist binomische FOrmel, aber so sehr ich es auch versuche, ich kriegs einfach nicht so hingeschrieben....

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aaaah danke ich habe es endlich verstanden !!!

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ok, also jetzt habe ich es auch gescahft, der trick ist+2uvab - 2uvab anzufügen. Und schon passt es in die Binomischen Formeln. Immerhin war die idee mit den binomischen formeln gar nicht verkehrt.