Zeige, dass das Produkt gleich der Summe zweier Quadrate ganzer Zahlen ist.

Question

Wäre lieb, wenn mir da jemand helfen könnte. Habe leider keine Idee, wie ich da heran gehen kann:

Es seien n ≥ 2 ganze Zahlen x1, x2, . . . , xn gegeben, und es sei bekannt, dass jede von ihnen
als Summe zweier Quadratzahlen geschrieben werden kann.

Man zeige, dass dann auch das Produkt x1 · x2 · · · · · xn gleich der Summe zweier Quadrate
ganzer Zahlen ist.

Answer 1

Lässt sich sich x als Summe zweier Quadrate schreiben, d.h.es gibt natürlich a,b mit  x=a²+b²=(a+ib)(a-ib)   (letzteres ist zerlegung in den komplexen Zahlen).

Damit ist xy=(a²+b²)(c²+d²)=(a+ib)(c+id)(a-ib)(c-id)= (ac-bd+i(ad+bc))(ac-bd-i(ad+bc))=...

auch Summe zweier Quadrate.

Per Induktion lässt sich das leicht auf endliche Produkte erweitern.

Answer 2

inspiriert durch: https://de.wikipedia.org/wiki/Vier-Quadrate-Satz .

Es genügt zu zeigen, dass sich das Produkt zweier Zahlen, die sich als Summe zweier Quadrate schreiben lassen, als Summe zweier Quadrate schreiben lässt. Per Induktion erlangt man die Eigenschaft für Produkte von n Zahlen, die sich als Summe zweier Quadrate schreiben lassen.

Sei dazu \( x_1 = a_1^2 + b_1^2 \) und \( x_2 = a_2^2 + b_2^2 \).

Das Produkt \( x_1 x_2 \) lässt sich vermittels

\( x_1 x_2 = (a_1 a_2 - b_1 b_2)^2 + (a_1 b_2 + b_1 a_2)^2 \)

als Summe zweier Quadrate schreiben.

MfG

Mister

PS: Das Prinzip dieser Antwort liegt auch nahe am Ansatz von Anonym, die Summe zweier Quadrate als das Produkt komplexer Zahlen im Gauß'schen Zahlengitter (komplexe Zahlen mit ganzzahligem Real- und Imaginärteil) auszudrücken.