x ( x + 1 ) = 2 x + 1 + 55 ( 1a )
x ² - x - 56 = 0 ( 1b )
Mal ganz unorthodox gefragt: Ist es überhaupt selbstverständlich, dass die Lösung von ( 1b ) ganzzahlig sein muss? Ja; schaut mal hier
https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_%C3%BCber_rationale_Nullstellen " Lemma von Gauß " steht da - man darf es füglich bezweifeln. Wenn ich nach " Gaußlemma " googele, krieg ich alles, nur nicht das ...
Gauß ist ja Kult. Wäre es von Gauß, so würdet ihr alle es kennen, weil euch die Lehrer das gesagt hätten.
Ich kenne nur zwei User; der eine sagte mir, dass es überhaupt sowas gibt.
Und der andere bestand darauf, dass es von Gauß sei ...
Ein dritter gar wusste zu berichten, wie erstaunt sein Assistent war. Noch nie habe er von sowas gehört ...
Wäre es von Gauß - völlig trivial würde der Umstand erscheinen, dass Wurzel ( 2 ) irrational ist. aber anscheinend hat niemand vor mir dieses Argument zur Kenntnis genommen.
Welchen Lehrsatz immer ihr in Wiki nachseht - stets werdet ihr mit Verallgemeinerungen ausführlichster Art bedient, die ein normaler Student überhaupt nicht zu sehen bekommt. Da fällt direkt ins Auge, dass bei dem Satz von der rationalen Nullstelle in nunmehr 200 Jahren kein Fortschritt erzielt worden sein soll.
Selbst mir, dem typischen Genie der zweiten Reihe, gelangen auf Anhieb drei Entdeckungen - und zwei will ich euch heute vorstellen.
Unser Mathelehrer pflegte immer zu fragen
" Ist es selbstverständlich, dasss ZWEI Punkte auf einer Geraden liegen?
" Ist es selbstverständlich, dasss drei Punkte auf einer Geraden liegen? "
Ganz in diesem Sinne. Angenommen ein Polymom spaltet einen rationalen Linearfaktor ( RLF ) ab. Ist es selbstverständlich, dass es zerfällt?
Angenommen ein QUADRATISCHES Polymom spaltet einen RLF ab. Ist es selbstverständlich, dass es zerfällt? Sei f ( x ) ein ===> primitives Polynom ( ganzzahlig gekürzt )
f ( x ) € |Z [ x ] := a2 x ² + a1 x + a0 ( 2a )
x1;2 := p1;2 / q1;2 € ||Q ( 2b )
Dann gilt
p1 p2 = a0 ( 2c )
q1 q2 = a2 ( 2d )
pq-Formeln ( 2cd ) sind wie gesagt meine Entdeckung ( und nebenbei gesagt die beste Probe auf quadratische Gleichungen, die je ersonnen wurde. ) Und darauf sollte Gauß selber nicht gekommen sein? völlig abwegig.
Ihr habt verstanden: In ( 1b ) müssen wir sämtliche Zerlegungen des Absolutgliedes 56 raten. na ganz so schlimm nun auch wieder nicht; x1 und x2 sind TEILER FREMD . Woher weiß ich jetzt das wieder? Siehe unten; machen wir erst mal fertig.
Die 56 hat die Primzahlzerlegung 56 = 2 ³ * 7 Wegen obiger Teilerfremdheit darf ich aber das " Zweierpäckchen " niemals " aufschnüren " ; es verbleiben die triviale Zerlegung 56 = 1 * 56 so wie die nicht triviale 56 = 7 * 8 ( Hinreichende ) Probe - überlebenswichtig in jeder Klausur - ist immer der Vieta ( der Normalform von ) ( 2a )
x ² - p x + q = 0 ( 3a )
p = x1 + x2 ( 3b )
| x1 | = 1 ; | x2 | = 56 ; | p | = 55 ( 4a )
| x1 | = 7 ; | x2 | = 8 ; | p | = 1 ( 4b ) ; okay
Jetzt noch das Vorzeichen richtig drehen - fertig ist die Laube.
Zu meiner Zeit kursierte unter den Schülern so ein Spruch
" Wäre es denkbar, dass auch heute noch etwas entdeckt wird, so wichtig wie z.B. die Zahl Pi, was also jeder Schüler braucht und versteht? "
Seht ihr doch. Wie war das jetzt mit den Teilern?
Und Gauß, der Großfürst der Teiler, der Entdecker von Teilbarkeitsaussagen, die ich nicht mal verstehe, soll sich nicht gefragt haben, was ist ggt x1;2? Und in den 200 Jahren seither hat das auch niemand gefragt? Nicht im Ernst ...
Sei m ein Teiler. Dann gilt in der Notation ( 2ab )
m | p1;2 <===> m | a1 ; m ² | a0 ( 5a )
Ein m , das die rechte Seite von ( 5a ) befriedigt, möge K-Teiler des Polynoms ( 2a ) heißen - K wie Koeffizient. Der größte K-Teiler ist dann selbst redend der gkt. Die Behauptung
ggt p1;2 = gkt ( f ) ( 5b )
