Summe einer Folge größer als Produkt der Folge

Question

Aufgabe: Zeigen Sie: Für n ∈ N und x1, . . . , xn ∈ R mit x1, . . . , xn > 0 gilt:

$$(1/n *  \sum\limits_{k=1}^{n}{x_k} ^n ≥  \prod_{k=1}^{n}{x_k}  $$

Problem/Ansatz:

Ich soll diese Ungleichung durch Induktion beweisen. Als Hilfestellung wird geraten, ein a_n = 1/n * \( \sum\limits_{k=1}^{n}{x_k} ) zu definieren, und dann die bernoullische Ungleichung auf ((a_n+1)/a_n)^(n+1) = (1 + (((a_n+1)-a_n) / a_n) anzuwenden.

Problem: Eigentlich kann ich Induktion, aber ich weiß schon nicht genau, wo der Term ((a_n+1)/a_n)^(n+1) herkommt.

Und selbst wenn ich die bernoullische Ungleichung dann anwende, kommt nur Quatsch raus.

Ich wäre dankbar, wenn jemand die Aufgabe ausführlich und für Doofe wie mich erklärt.

Comments

Du hast in der Aufgabenstellung eine schließenden Klammer vergessen, wo?

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die schließende Klammer kommt nach x_k, sodass 1/n mal die Summe mit n potenziert wird.

\(((1/n) *  \sum\limits_{k=1}^{n}{x_k}) ^n ≥  \prod_{k=1}^{n}{x_k}  \)

Answer 1

Hallo,

wir nehmen also als Abkürzung

$$a_n:=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^nx_k$$

Im Induktionsschritt wollen wir zeigen:

$$a_{n+1}^{n+1} \geq a_n^n \cdot x_{n+1} \text{  (1)}$$

Denn dann folgt mit der Induktionsvoraussetzung die Induktionsbehauptung

$$a_{n+1}^{n+1} \geq a_n^n \cdot x_{n+1}\geq \left( \prod \limits_{k=1}^n x_k \right) x_{n+1}= \prod \limits_{k=1}^{n+1} x_k$$

Um (1) zu zeigen:

$$\frac{a_{n+1}^{n+1}}{a_n^n}=a_n \left( \frac{a_{n+1}}{a_n}\right)^{n+1}=a_n \left( 1 +\frac{a_{n+1}-a_n}{a_n}\right)^{n+1}$$

Mit der Bernouili Ungleichung:

$$\geq a_n \left( 1 +(n+1)\frac{a_{n+1}-a_n}{a_n}\right)=a_n+(n+1)a_{n+1}-(n+1)a_n=x_{n+1}$$

Gruß Mathhilf