Lösungen der Gleichung: Summe der Quadratzahlen = Quadratzahl

Question

Bei der Gleichung

$$\sum_{n=1}^{k} n^{2} = m^2 \ \ \ \ \ \ \ k,m \in \mathbb{N^{+}}$$ 

kann ich 2 Lösungen für k und m finden:
1. k=1 und m=1
2. k=24 und m=70

Gibt es noch mehr Lösungen oder sind das die einzigen?

Dankeschön im voraus :)

Comments

Hab das mal mit UBASIC geprüft: bis k<=10^9 keine weiteren Lösungen! Würde mich auch interessieren ob es da eventuell einen Beweis gibt.

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Es muss ja gelten

k^3/3 + k^2/2 + k/6 = m^2

k·(k + 1)·(2·k + 1)/6

Wolframalpha sagt, dass sind die einzigen Lösungen.

Einen Beweis bietet Wolframalpha aber nicht an.

Answer 1

Beweisansatz:

$$ m = \sqrt{\frac k 6}\, \cdot \ \sqrt{2 k^2+3 k+1} $$
Damit die linke Wurzel ein ganzzahliges Ergebnis liefert:
$$ k=6s^2$$   $$s \in \mathbb{N}$$
$$ m = \sqrt{\frac {6s^2} 6}\, \cdot \ \sqrt{2 (6s^2)^2+3 \cdot  6s^2+1} $$
$$ m = s \, \cdot \ \sqrt{2^3 \cdot 3^2 (s^2)^2+2 \cdot  3^2 \,s^2+1} $$

Fortsetzung ...

Comments

Die linke Wurzel muss kein ganzzahliges Ergebnisliefern...

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Stimmt - danke für den Hinweis - ich überlege weiter ...

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$$m = \sqrt{\frac k 6}\, \cdot \, \sqrt{2 k^2+3 k+1}$$
$$m = \sqrt{\frac {1} {6}}\, \cdot \, \sqrt{2 k^3+3 k^2+k}$$
$$\sqrt{ {6}}\, \cdot m =  \, \sqrt{2 k^3+3 k^2+k}$$
$$6 \, \cdot m^2 =  \, 2 k^3+3 k^2+k$$
$$0 =  \, 2 k^3+3 k^2+k-6 \, \cdot m^2$$
$$0 =  \,  k^3+\frac 32 k^2+\frac 12k-3 \, \cdot m^2$$

Nun brauche ich wieder ein Verschnaufpause, um das mit dem Cardano wieder hochzuholen ...