Gilt die Implikation \( F' \subseteq F => \text{Lin}(F') \subseteq \text{Lin}(F) \)?

Question

Ich habe mir dazu folgendes überlegt. Ich verwende dabei diesen bereits bewiesenen Satz:

$$ \text{Satz*. Es seien }\mathbb{K}\text{ ein Körper, }V\text{ ein }\mathbb{K}\text{-Vektorraum und }\mathcal{F}=(v_i)_{i\in I} \text{ eine Familie in }V.\\\text{Dann gilt }v_i\in \text{Lin}(\mathcal{F})\text{ für alle }i\in I. $$

Nun meine Behauptung:

$$ \text{Seien }\mathcal{F'}:=(v_j)_{j\in J}\text{ und }\mathcal{F}:=(v_i)_{i\in I}\text{ Familien von Vektoren, wobei }\mathcal{F'}\subseteq \mathcal{F}\text{ gilt.}\\\text{Nach Satz* gilt }v_j\in\text{Lin}(\mathcal{F'})\text{ für alle }j\in J \text{ und wegen }\mathcal{F'}\subseteq \mathcal{F}\text{ auch } v_j\in\text{Lin}(\mathcal{F})\text{ für alle }j\in J:\\\text{Damit folgt auch }\text{Lin}(\mathcal{F}')\subseteq \text{Lin}(\mathcal{F}). $$Ginge das so durch?

Answer 1

Das klappt so nicht. Du musst mit einem beliebigen Elöement

v ∈ Lin( F ' ) beginnen und zeigen, dass dieses auch in Lin(F) ist.

Das geht wohl so:

Sei  v ∈ Lin( F ' ) . Dann gibt es eine Linearkombination von

Elementen aus F ' die gleich v ist.

Da die Elemente von F ' auch alle in F sind (wegen F ' ⊆ F ) ,

ist v also auch eine Linearkombination von Elementen aus F,

also  v ∈ Lin( F  ) .  q.e.d.

Comments

Würde meiner dann funktionieren, wenn ich zwischen drin noch das hier gesagt hätte?

Wegen F' ⊆ F gilt auch v_j ∈ F für alle j ∈ J. Damit gilt auch v_j ∈ Lin(F') für alle j ∈ J.

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Du musst doch die Definition der linearen Hülle benutzen.

Oft ist diese:   Alle möglichen Linearkombinationen von

Elementen aus F bilden die lineare Hülle von F.

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Und warum tu ich das nicht?

v_ j ∈ Lin(F') für alle j ∈ J ist doch eine Folgerung (Satz*) aus der Definition der Linearkombination.

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Ich versuche mal ohne Formalisierungen.

Den Satz verstehe ich in Worten so:

Wenn man einen Vektor aus einer Familie von

Vektoren nimmt, dann ist dieser auch Element der

durch diese Familie erzeugten linearen Hülle.

In der zu beweisenden Aussage geht es aber darum:

Wenn eine Familie Teilemenge der anderen ist, dann ist

auch die eine Hülle Teilmenge der anderen. Also ist zu zeigen:

Nehme ich einen aus der 1. Hülle (Das muss ja gar kein

Element der Familie sein.) dann ist der auch in der 2. Hülle.

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Nehme ich einen aus der 1. Hülle (Das muss ja gar kein

Element der Familie sein.)

Stimmt, dass hatte ich nicht bedacht. Ich hatte nur die Vektoren der Familie betrachtet.