Seien p(x), ein Polynom, x0 ∈ R und (xn)n eine Folge mit lim n→∞ xn = x0. Zeigen Sie lim n→∞ p(xn) = p(x0)

Question

brauche bitte Hilfe zu folgender Aufgabe:

Seien p(x) = a0 + a1x + ... + anxn mit a0,a1,...,an ∈ R ein Polynom, x0 ∈ R und (xn)n eine Folge mit limn→∞ xn = x0. Zeigen Sie limn→∞ p(xn) = p(x0) 

Habe absolut keine Ahnung wie ich an die Aufgabe dran gehen soll.

Comments

Das ist eine direkte Anwendung der Grenzwertsaetze.

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Wie berechne ich den Grenzwert?

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Mit den Grenzwertsaetzen: https://de.wikipedia.org/wiki/Grenzwert_(Folge)#Rechenregeln

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Könntest du mir bitte etwas nachhelfen? Ich kann leider noch nicht mit allgemeinen Ausdrücken "rechnen", mit richtigen Folgen fällt es mir leichter.

Answer 1

Die Grenzwertsaetze besagen, dass man bei einem rationalen Ausdruck bestehend aus Konstanten und konvergenten Folgen den Limes bis zu den Folgen durchschieben darf. Hier konkret

$$\lim_{\nu\to\infty}\left(a_0+a_1x_\nu+\cdots+a_nx_\nu^n\right)=a_0+a_1\lim_{\nu\to\infty}x_\nu+\cdots+a_n\left(\lim_{\nu\to\infty}x_\nu\right)^n.$$