Sei (an) eine konvergente Folge und sei c ≤ an für ein c ∈ R. Zeigen Sie, dass lim an ≥ c. n→∞

Question

Aufgabe:

Sei (an) eine konvergente Folge und sei c ≤ an für ein c ∈ R. Zeigen Sie, dass
lim an ≥ c. n→∞
Hinweis: Nehmen Sie an, dass limn→∞ an < c ist. Das führt zu einem Widerspruch.

Answer 1

Sei (an) eine konvergente Folge und sei c ≤ a_n für ein c ∈ R.

und das für alle n∈ℕ nehme ich mal an .

(Also c ist eine untere Schranke für die Folge.

Dann ist es einfach: Folge dem Tipp:

Nehmen Sie an, dass    g:= lim_n→∞ an < c ist.

Dann ist c-g > 0 und für ε=c-g folgt:

Es gibt ein N mit ∀n∈ℕ  gilt n>N ==>  | a_n - g | < ε

     also   | an - g | < c-g

         im Widerspruch zu   c ≤ a_n