Reihe auf Konvergenz prüfen: (√(k+1) - √k) / √(k+1).

Question

Ich soll folgende Reihe auf konvergenz prüfen: (√k+1 - √k) / √k+1.

Mein Ansatz war den Bruch mit √k+1 + √k zu verlängern dann würde 1/(k+1+√k^2+k)  rauskommen, dies könnte man nun wie folgt abschätzen

1/(k+1+√k^2+k)> 1/(k+1+√k^2+2k+1)= 1/ (2k +1) und da 1/(2k+1) divergent ist, ist die Reihe (√k+1 - √k) / √k+1 auch divergent. Ist das so richtig? Ein Anderer Ansatz, mittels der anderen konvergenz Kriterien ist mir nicht eingefallen...

EDIT(Lu): in der Überschrift  Klammern bis zum vermuteten Ende der Wurzeln gesetzt und "Teihe" durch "Reihe" ersetzt.

Answer 1

Hi,
$$ \frac{\sqrt{k+1}-\sqrt{k}}{\sqrt{k+1}} = \frac{\sqrt{k+1}-\sqrt{k}}{\sqrt{k+1}} \frac{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}} = \frac{1}{k+1+\sqrt{k(k+1)}} $$
Für \( k \to \infty \) geht der Ausdruck gegenn \( 0 \) und für \( k \to 0 \) gegen \( 1 \)

Comments

Wenn das zu einer Reihe gehören soll, muss man nun die Summanden noch addieren.

Da kommt man nach deiner Rechnung auf eine divergente Minorante via die harmonische Reihe.

Ähnlich wie bei der "ähnlichen Frage" vom 5. 12. 2013. https://www.mathelounge.de/70892/∑-√-n-1-√n-√n-konvergenz-reihe

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Also ist die Reihe divergent wegen

1/(k+1+√k^2+k) > 1/(k+1+√k^2+2k+1)= 1/(2k+2).

Weil 1/(2k+2) ja divergent ist müsste dann ja auch 1/(k+1+√k^2+k) divergent sein oder?1k+1+k(k+1)