Folge und Reihe auf Konvergenz überprüfen: a_(n):= √(n+1) -√n

Question

Aufgabe:

Folge und Reihe sind auf Konvergenz zu überprüfen.

Für \( n \in \mathrm{N} \) sei \( a_{n}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n} \) Folge \( \left(a_{n}\right)_{n} \) und Reihe \( \sum \limits_{n=1}^{\infty} a_{n} \)

Für die Überprüfung der Folge hab ich folgendes:

\( (\sqrt{n+1}-\sqrt{n}) \times(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})=(n+1)-n=1 \)

\( \Rightarrow a_{n}=\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}<\frac{1}{2 \sqrt{n}} \)

Bei der Reihe benötige ich Hilfe.

Answer 1

Das ist doch schon wunderbar. Du kannst den Grenzwert 0 vermuten.

Nun die Definition von Konvergenz überprüfen. Ich schreibe € für Epsilon

Sei €> 0 gegeben.

a_(n) < 1/(2√n) < €

1/(2√n) < €

1/(2€) < √n

1/(4€^2) < n

Wähle no = Round(1/(4€^2)) + 1 , dann sind alle a_(n) mit n≥no weniger als € von 0 entfernt.

Comments

Als Tipp für die Konvergenzüberprüfung der Reihe wird die Teleskopsumme erwähnt, leider weiß ich nicht genau wie diese angewendet wird. Könntest du mir dabei vielleicht helfen?

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Ja. über die Reihe ist da noch nichts gesagt.

n>0

Es gilt aber analog zu dem, was du hast

a_(n)> 1/(2√(n+1))= 1/2 * 1/√(n+1) = 1/2 * (n+1)^{-0.5} > 1/2 * 1/(n+1)

Das wäre eine divergente Minorante, die ihr vielleicht schon so vorliegen habt. Ansonsten beim Vergleich  mit der harmonischen Reihe noch den Index verschieben.

Schreib alles schön mit Betragstrichen und Summenzeichen. (n>0)

EDIT: Richtig. Teleskopsumme ist viel eleganter und kürzer!

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Summe von n=1 bis k:  a_(n) = √2 - √1 + √3 - √2 + √4 - √3 ........+ √(k+1) - √k    | Teleskop erkennen!

= -√1 + √(k+1)

Nun k---> unendlich laufen lassen.

Summe bis unendlich a_(n) = lim_(k -> unendlich) -1 + √(k+1) = -1 + unendlich = unendlich

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Analoge Aufgabe hier: https://www.mathelounge.de/91621/divergenz-der-reihe-∑-√k-√-k-1-zeigen