Betrag und Exponentialfunktion

Question

Ich soll diese Aufgabe lösen und finde auch nach langem Durchsuchen von Skript und Büchern keinen Lösungansatz. Bin dankbar für Antworten und Lösungansätze :)

Answer 1

$$ exp(x)=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac { x^n }{ n! }} $$
also
$$ exp(x)- 1 =\sum_{n=1}^{\infty}{\frac { x^n }{ n! }} $$

$$ |exp(x)- 1| =|\sum_{n=1}^{\infty}{\frac { x^n }{ n! }}|≤ \sum_{n=1}^{\infty}{|\frac { x^n }{ n! }|}≤ \sum_{n=1}^{\infty}| { x^n }|$$

Denn ohne die Division durch n! sind die Summanden natürlich von größerem Betrag.

Und dann ist es eine geom. Reihe mit q=|x| < 1  (allerdings ohne den 1. Summanden

deswegen die rote -1 )

also konvergent mit Grenzwert 1 / ( 1 - |x| ) - 1  =   |x| / ( 1 - |x|)

Comments

für b musst du zeigen

zu jedem eps > 0 gibt es ein delta> 0  mit   | x - 0| < delta  ⇒ | exp(x) - 1 | < eps.

Sei also eps > 0 .  wähle delta = min{ eps/2 ; 0,5 } dann ist also für

|x|<delta     sowohl   |x| < 0,5  als auch    |x| < eps/2

und damit   1 -|x| > 0,5   und also  |x| / ( 1 -|x|)  < |x| / 0,5 = 2*|x| < eps

Da aber nach Teil a)    | exp(x) - 1 |  ≤   |x| / ( 1 -|x|)  ist, gilt also auch

| exp(x) - 1 | < eps.    Also exp stetig bei 0.

c) Sei nun a≠0 . Für Stetigkeit bei a:

Sei xn eine Folge, die gegen a konvergiert, dann ist

(jeweils für n gegen unendlich)

lim exp( xn) = lim exp( a + xn - a )

= lim ( exp(a) * exp(xn-a) )

und wegen der gezeigten Stetigkeit bei 0 geht exp(xn-a)gegen 1 , also ist

nach dem entsp. Grenzwertsatz dieses

= lim ( exp(a) * lim  exp(xn-a)

= exp(a)   *  1 

= exp(a)    Also stetig bei a.

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b und c verstehe ich leider nicht so ganz.. Was ist z.B. dieses "min" ??
Das kommt bei mir im skript beim epsilon delta Kriterium gar nicht vor

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min{ eps/2 ; 0,5 } soll nur heißen:

Das kleinere von beiden.  d.h. du kannst dann davon ausgehen, dass

delta ≤ eps/2 und zugleich auch  ≤ 0,5 ist. 

Das ist nötig, damit die nachfolgende Argumentation auch stimmt

und es ist zulässig, weil es ja nur heißt:

" Es gibt ein delta... " und wenn du es so wählst, dann

gibt es das eben.