Rang einer nicht quadratischen Matrix

Question

Hallo ich habe folgende Aufgabenstellung gegeben .

Aufgabe:
Bestimmen Sie den Rang der Matrix
$$ \hat{A}=\left(\begin{array}{rrr} {1} & {2} & {-3} \\ {2} & {1} & {0} \\ {-2} & {-1} & {3} \\ {-1} & {4} & {-2} \end{array}\right) $$

Diese Matrix ist jedoch nicht quadratisch , hat jemand eine Idee wie man hier vorgeht? 

Answer 1

Du wendest wie bei einer quadatischen Matrix den Gaußalgorithmus an:

( Es wird beim Übergang auf die nächste Matrix immer mit der blauen Zeile gearbeitet.

Die Zeilen Z darunter werden jeweils durch " Z  -   blaue Zeile • passender Faktor"  ersetzt.)

 1, 2, -3

2, 1, 0

-2, -1, 3

-1, 4, -2

1, 2, -3

0, -3, 6  

0, 3, -3

0, 6, -5

1, 2, -3

0, -3, 6  

0, 0, 3

0, 0, 7

1, 2, -3

0, -3, 6

0, 0, 3  

0, 0, 0

Rang = 3

[ Du könntest auch zwischendurch einzelne Zeilen durch eine beliebige Zahl teilen oder die Matrix zuerst transponieren (Spaltenrang = Zeilenrang)]

Gruß Wolfgang

Comments

Vielen Dank ! Wuste nicht das man Gauß ebenso hier anwenden kann .

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Hallo, ich hab eine Frage:

Die Matrix A von Oben ist ja eine R- 4x3 Matrix, also eine Abbildung

f: R^4 -> R^3. Wir haben in der Vorlesung gelernt, dass beim Dimensionssatz "dim (V) = dim (kern(f)) + Rang (f)" die Dimension vom Urbildverktorraum stammt. Aber in diesem Fall haben wir ja den R^4 als Urbildvektorraum. Und da die Spaltenvektoren linear unabhängig sind, ist ja der Kern(f) = {0v}. Also Dimension gleich 0.

Also => 4 = 0 + x  → Rang (f) = 4 Wegen Dim (V) = 4.

Oder? Hilft mir bei Unklarheit

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Die Spaltenvektoren sind linear abhängig und dim Kern(f) = 1

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wo siehst du das? könntest du vlt mehr als nur ein Satz schreiben? Da steht ja

1, 2, -3 

0, -3, 6 

0, 0, 3

0, 0, 7

=> x3 = 0, x2= 0, x1= 0

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Du kannst Z4 noch durch 7*Z3 - 3*Z4 ersetzen, dann hast du unten eine Nullzeile.

Die Ausgangsmatrix ist eine Abbildungsmatrix für  f: ℝ³ → ℝ⁴

Die Bildvektoren haben 4 Komponenten und du kannst x₄ beliebig wählen.

Answer 2

Hey  ICH habe ja in der Vorlesung aufgepasst




      Rang  (  A  )  +  dim  Kern  (  A  )  =  n  =  3     (  1  )



    mit n =  Dimension des Urbildraumes = Anzahl Unbekannte = 3   Wir werden jetzt den Kern der Matrix bestimmen; dazu löse ich das adjungierte homogene LGS





            x  +  2  y  -  3  z  =  0               (  2a  )

        2  x  +      y             =  0              (  2b  )

        2  x  +      y  -  3  z  =  0              (  2c  )

            x  -   4  y +  2  z  =  0              (  2d  )
 


    An sich habe ich einen Divisionsalgoritmus entwickelt, der sich gerade bei 3 Unbekannten prächtig macht und unfehlbar die Zahl der Unbekannten auf Zwei vermindert - aber warum? Hier wie überall in der Algebra und Geometrie musst du etwas " sehen " Vergleiche mal ( 2bc ) Egal jetzt ob Einsetz - oder Subtraktionsverfahren. z muss Null sein; wenn einerseits a = 0 und andererseits a - 3 z = 0 - was sonst sollte dann wohl dieses z sein?
   Wenn aber z = 0 , dann musst du nur noch die Unterdeterminante von zweien dieser vier Gleichungen bilden - sagen wir ( 2ab ) Und die ist gleich Minus 3 . D.h. ( 2ab ) für sich genommen lassen nur noch die triviale Lösung zu - der Rang ist 3 .

Answer 3

Unabhängig davon, ob eine Matrix quadratisch ist oder nicht, kannst du sie auf Zeilenstufenform bringen, um ihren Rang zu bestimmen.

Bei deiner Matrix  gibt es weniger Arbeit, wenn du sie erst transponierst.

Daran erkennst du, dass ihr Rang nicht grösser als 3 sein kann.