Ist es nicht so, dass eine nxn Matrix vollen Rang hat, wenn die Spaltenvektoren linear unabhängig sind, also wenn …

Question

Aufgabe:

Sei A eine nxn Matrix. Falls Spaltentausch bei Umformung von A durch Gauss-Verfahren notwendig, so ist der Rang(A)<n

Problem/Ansatz:

Ich bin hier auf eine Formulierung in meinem Skript gestoßen, die mich stutzig gemacht hat. Ich habe noch nie gehört, dass die Tatsache, dass ein Spaltentausch beim Gauss-Verfahren notwendig ist, um eine nxn Matrix in eine bestimmte Form zu bringen, bedingt, dass A keinen vollen Rang hat. Bisher habe ich gedacht, dass ein Spaltentausch den Rang einer Matrix in keinem Fall verändert. Kann mir da jemand weiterhelfen. Falls es noch weiterhilft: ich befinde mich im Skript gerade an einer Stelle, in der es um die Berechnung der Determinante einer Matrix geht.

Answer 1

Aloha :)

Ich teile deine Bedenken. Eine \(n\times n\)-Matrix hat genau dann vollen Rang, wenn ihre Determinante \(\ne 0\) ist. Wenn du bei einer Determinante zwei Spalten oder Zeilen vertauschst, ändert sie ihr Vorzeichen, mehr nicht. Daher gibt die Notwendigkeit der Vertauschung von zwei Spalten oder Zeilen keinerlei Auskunft über den Rang von einer \(n\times n\)-Matrix.

Comments

(-1)*0 ist immer noch 0.

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Hey Tschakabumba,

dann nehme ich das in dem Skript einfach mal als Schreibfehler an. Gut immerhin, dass ich nicht allein der Meinung bin, dass da etwas nicht stimmt. Vielen Dank dir!

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dann nehme ich das in dem Skript einfach mal als Schreibfehler an.

das kommt auch darauf an, wann genau man beim Gauss-Verfahren den Spaltentausch als notwendig erachtet!

Wenn man beim Gauss-Verfahren Wert darauf legt, dass sich von links oben nach rechts unten auf der Diagonalen der Matrix immer Werte \(\ne 0\) befinden müssen, so weit möglich, und wenn das nur über einen Spaltentausch möglich ist, dann ist die Aussage korrekt!

Der Umkehrschluß gilt IMHO nicht.

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@Werner-Salomon aber dann spielt doch der Spaltentausch trotzdem keine Rolle bei der Bestimmung des Ranges oder nicht? Also es mag richtig sein, dass ein Spaltentausch notwendig ist, um eine Matrix in eine bestimmte Form zu bringen. Aber es ist doch nicht notwendig, um die Matrix in eine bestimmte Form zu bringen, die etwas über den Rang der Matrix aussagt. Ich meine, wenn es durch das Gauss-Verfahren nicht möglich ist, eine obere Dreiecksmatrix zu schaffen, sodass alle Werte auf der Hauptdiagonale ungleich 0, dann hat die Matrix nicht vollen Rang. Wenn es dagegen möglich ist, hat sie vollen Rang. Ich kann doch aber nie durch Spaltentausch das eine beziehungsweise andere erreichen, wenn es ohne Spaltentausch nicht auch möglich ist oder nicht? Und dann hätte ein Spaltentausch bei der Bestimmung des Rangs doch überhaupt keine Bedeutung. Vielen Dank für deinen zusätzlichen Kommentar!