Aufgabe:
Sei \( A=\left(a_{i j}\right)_{i j} \in \operatorname{Mat}_{n, n}(\mathbb{R}) \) derart, dass \( a_{11}=a_{22}=\ldots=a_{n n}=1 \) und \( \sum \limits_{\substack{j=1 \\ j \neq i}}^{n}\left|a_{i j}\right|<1 \quad \) für alle \( 1 \leq i \leq n \).
Zeigen Sie, dass \( A \) den Rang \( n \) hat.
Problem/Ansatz:
Ich glaube der einfachste Weg ist es mit elementaren Zeilenoperationen zu lösen, sodass ich diese Matrix in die Einheitsmatrix überführen kann. Ich habe über diverse Wege nachgedacht, bin aber leider nicht weitergekommen.
Ich bin für jede Hilfe dankbar!
