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Aufgabe 1. (6 Punkte) Sei \( r>0, U:=(0, r) \times(0,2 \pi) \) und
\( \psi: U \rightarrow \mathbb{R}^{3}, \quad \psi(s, \varphi)=(s \cos \varphi, s \sin \varphi, \varphi)^{T} . \)
Zeigen Sie, dass \( W:=\psi(U) \) eine (durch \( \psi \) global parametrisierte) zweidimensionale Untermannigfaltigkeit des \( \mathbb{R}^{3} \) ist. Bestimmen Sie ferner die Gramsche Determinante \( g_{\psi} \) und \( \operatorname{vol}_{2}(W) \).
Hinweis: Sie dürfen ohne Beweis verwenden, dass die Umkehrfunktion des Sinus hyperbolicus durch \( x \mapsto \ln \left(x+\sqrt{x^{2}+1}\right) \) gegeben ist.
Aufgabe:
Problem/Ansatz:
Hallo zusammen,
ich bin mir leider unsicher wie ich die Untermannigfaltigkeit mit der globalen Parametrisierung zeigen soll. Die Schreibweise ψ(U) verwirrt mich hier etwas. Wie man Untermannigfaltigkeit im Allgemeinen beweist ist mir klar. Das Bestimmen der Gramschen Determinante und des zweidimensionalen Volumens sollte auch kein Problem sein, ich verstehe lediglich die Menge W nicht so ganz und wie man die Untermannigfaltigkeit hier zeigen soll.
Ich bedanke mich schonmal für jede Hilfe
