Zweidimensionale Ungleichung mit Bedingung skizzieren

Question

Aufgabe:

Folgende Menge skizzieren und in Polarkoordinaten umwandeln

\( A=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}\left|x^{2} \leq 9-y^{2}, y \geq\right| x \mid\right\} \)

Problem/Ansatz:

Hallo,

ich versuche grade, die obige Menge zu skizzieren.

Dafür habe ich x^2 <= 9 - y^2 zu x + y <= 3 umgeformt.

Zeichne ich das in ein x,y,z Diagramm ein, erhalte ich eine Kreisscheibe um die Punkte -3 & 3 für x & y.

Nun bin ich aber durch die Bedingung y >= |x| verwirrt. Wenn ich den Punkt x=-3 wähle würde die Bedingung hergeben: y >= |-3| <=> y >= 3. Es ergebe sich also ein Punkt (-3 | y >= 3). Da x+y <= 3 sein soll also (-3 | 3).

Ich verstehe nicht, wie ich das aufzeichnen kann.

Comments

Zunächst solltest Du Dir klar machen  welche Regeln Du für Deine erste Umformung verwenden willst. Diese ist nämlich falsch. Oder hast Du Dich nur verschrieben?

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Ich habe gerechnet

x^2 <= 9 - y^2    |+ y^2

x^2 + y^2 <= 9   | Wurzel

x + y <= 3

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Im allgemeinen ist (x+y)² = x²+2xy+y² ≠ x²+y²

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x² + y² <= 9  | Wurzel

Das ergibt

        \(\sqrt{x^2+y^2} \leq \sqrt 9\)

x + y <= 3

Es gibt keine Regel, die es dir erlaubt, \(\sqrt{x^2+y^2}\) zu \(x+y\) umzuformen.

Zum Beispiel \(x = 1,y=1\). Dann ist

        \(\sqrt{x^2+y^2} = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}\),

aber

        \(x+y=1+1=2\neq \sqrt{2}\).

Answer 1

Dafür habe ich x² <= 9 - y² zu x + y <= 3 umgeformt.

Die Umformung ist nicht korrekt, wie du durch Einsetzen von \(x=2\), \(y = 2\) feststellen kannst.

Die Ungleichung \(x^2 \leq 9 - y^2\) beschreibt eine Kreisscheibe mit Mittelpunkt \((0|0)\) und Radius \(3\).

Das ergibt sich aus dem Satz des Pythagoras. Die Ungleichung kann umgeformt werden zu

        \(x^2 + y^2 \leq 3^2\).

Dabei ist \(x^2 + y^2\) das Quadrat des Abstandes des Punktes \((x|y)\) zum Ursprung.

Zeichne ich das in ein x,y,z Diagramm ein

Die Menge \(A\) ist Teilmenge von \(\mathbb{R}^2\), nicht von \(\mathbb{R}^3\). Es gibt also keine \(z\)-Achse.

Nun bin ich aber durch die Bedingung y >= |x| verwirrt.

Fall 1. \(x > 0\). Dann lautet die Bedingung \(y \geq x\). Zeichne den Strahl \(y = x\) für \(x > 0\) ein. Entscheide dann, ob die Punkte oberhalb oder unterhalb des Strahls zu \(A\) gehören.

Fall 2. \(x < 0\). Dann lautet die Bedingung \(y \geq -x\). Zeichne den Strahl \(y = -x\) für \(x < 0\) ein. Entscheide dann, ob die Punkte oberhalb oder unterhalb des Strahls zu \(A\) gehören.

Comments

Ich glaube ich verstehe..

Es sollten logischerweise nur die Punkte oberhalb des Strahls angenommen werden können, darunter wäre die Bedingung y >= |x| nicht mehr erfüllt da dort |x| > y gilt.

Ich kriege also einen viertel Kreis der vom Nullpunkt mit dem Radius 3 zwischen y = -x & y = x begrenzt wird.

Ich danke dir Oswald!