Wie lernt man Funktionen ohne Hilfsmittel zu skizzieren?

Question

Ich muss für meine Klausur in der Oberstufe in der Lage sein Funktionen ohne Hilfsmittel zu skizzieren und wir müssen auch in der Lage sein beim Betrachten der Funktionsgleichung uns diese sofort bildlich vorstellen zu können, ich habe wirklich keine Ahnung, wie ich das hinbekommen soll. Wie kann ich sowas lernen?

Problem/Ansatz: Wie würde ich beispielsweise f(x) = x^3-3x^2+2x skizzieren?

Answer 1

Wenn du einen Taschenrechner benutzen darfst, bietet sich an, eine Wertetabelle von -7 bis +7 anzulegen. Das können moderne Rechner mit wenig Aufwand.

Daran kannst du schon gut erkennen, wo die Kurve oberhalb und unterhalb der x-Achse verläuft.

Ohne Taschenrechner musst du zunächst nach dem x mit der höchsten Potenz gucken.

Im Beispiel x^3. Für große x-Werte verhält sich f(x) wie x^3, d.h. sie kommt von links unten (aus dem III. Quadranten) und geht nach rechts oben (durch den I. Quadranten).

Für den Verlauf in der Nähe der y-Achse betrachtest du den linearen Teil, hier +2x. Zwischen -1 und +1 verläuft die Kurve sehr ähnlich, d.h. wie eine Gerade mit der Steigung 2.

Wenn du dann noch siehst, dass die Nullstellen bei 0, 1 und 2 liegen, kannst du die Kurve recht gut skizzieren. Achte noch darauf, dass sie bei Hoch- und Tiefpunkten schön rund und nicht eckig verlauft und die volle Punktzahl ist dir sicher.

:-)

Answer 2

f(x) = x^3 - 3·x^2 + 2·x

Zunächst sieht man das mal x ausklammern kann

f(x) = x·(x^2 - 3·x + 2)

Jetzt sieht man mit dem Satz von Vieta eine zerlegung des quadratischen Terms da

(-1) * (-2) = 2 und (-1) + (-2) = -3

f(x) = x·(x - 1)·(x - 2)

Jetzt skizziert man eine Funktion durch diese drei Nullstellen. Dabei kommt es nicht so sehr darauf an, dass die y-Koordinaten exakt sind.

~plot~ x^3-3x^2+2x;[[-4|4|-3|3]] ~plot~

Answer 3

Wie würde ich beispielsweise f(x) = x³-3x²+2x skizzieren?

Mit etwas Erfahrung sieht man die Zerlegung f(x)=x·(x-1)·(x-2). Damit kennt man auch die Nullstellen. Zwischen zwei aufeinanderfolgenden Nullstellen liegen je ein Hoch- und ein Tiefpunkt. Für sehr kleine (negative) und sehr große (positive) Zahlen überwiegt x³. Daher kommt der Graph aus dem negativ-Unendlichen und geht ins positiv-Unendliche.

Answer 4

wir müssen auch in der Lage sein beim Betrachten der Funktionsgleichung uns diese sofort bildlich vorstellen zu können,
Kann ich gar nicht
Mach dir eine Wertetabelle, mach eine Kurvendiskussion
und trag die Punkte ins Koordinatensystem ein.