Hallo,
wir benutzen, dass ein metrischer Raum kompakt ist gdw. er folgenkompakt ist. Das heißt wir nutzen hier, dass \(K\) kompakt ist genau dann, wenn jede Folge in \(K\) eine konvergente Teilfolge mit Grenzwert in \(K\) hat. Ich betrachte weiterhin nur solche \(A\) mit \(\partial A\neq\emptyset\) sonst ist die Aussage ja trivial.
Der Beweis ist nun per Widerspruch:
Angenommen die Behauptung gilt nicht, dann gibt es für jedes \(n\in\mathbb N\) ein \(x_n\in K\) und ein \(y_n\in \partial A\) mit \(\mathrm d(x_n,y_n)<\frac{1}{n}\). Da \(K\) kompakt ist gibt es nun eine Teilfolge \((x_{n_k})_k\) mit \(x_{n_k}\to x\in K\subseteq A\) für \(k\to\infty\). Da \(A\) offen ist finde ich ein \(\varepsilon>0\) sodass \(B_\varepsilon(x)\subseteq A\). Für \(n\) groß genug muss dann \(y_n\in B_\varepsilon(x)\) sein. Widerspruch
Das letzte Argument habe ich nur sehr grob formuliert. Mache dir klar warum \(y_n\in B_\varepsilon(x)\) für große \(n\) gelten muss und vor allem warum das ein Widerspruch ist (Wozu?).
Gerne helfe ich bei Fragen weiter
LG Dojima
