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Für α ∈ R definieren wir

Rα : =(cos(α)sin(α)sin(α)cos(α))R2×2..Rα := \begin{pmatrix} cos(α)& −sin(α) \\ sin(α) & cos(α)\end{pmatrix} ∈ R^{2×2.}.


a) Welche geometrische Bedeutung hat die Abbildung
F :R2R2,(xy)Rα(xy)?R^2 → R^2, \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} → R_{α}\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}?

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b) Bestimmen Sie (Rπ/2)4.

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Bilde mal die beiden Einheitsvektoren ab und du siehst:

Drehung um den Ursprung um den Winkel α.

b) ist also die Identität.

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Aloha :)

zu a) Wir untersuchen, wie sich die Basisvektoren (10)\binom{1}{0} und (01)\binom{0}{1} unter der Transformation RαR_\alpha verhalten:

Rα(10)=(cosαsinαsinαcosα)(10)=(cosαsinα)R_\alpha\cdot\binom{1}{0}=\left(\begin{array}{rr}\cos\alpha & -\sin\alpha\\\sin\alpha & \cos\alpha\end{array}\right)\binom{1}{0}=\left(\begin{array}{r}\cos\alpha\\\sin\alpha\end{array}\right)Rα(01)=(cosαsinαsinαcosα)(10)=(sinαcosα)R_\alpha\cdot\binom{0}{1}=\left(\begin{array}{rr}\cos\alpha & -\sin\alpha\\\sin\alpha & \cos\alpha\end{array}\right)\binom{1}{0}=\left(\begin{array}{r}-\sin\alpha\\\cos\alpha\end{array}\right)

Bei dem Einheitsvektor (10)\binom{1}{0} wird die xx-Koordinate zu cosα\cos\alpha und die yy-Koordinate zu sinα\sin\alpha. Das entspricht einer Drehung des Vektors (10)\binom{1}{0} um den Winkel α\alpha im Gegenuhrzeigersinn, also in mathematisch positivem Sinn.

Bei dem Einheitsvektor (01)\binom{0}{1} wird die xx-Koordinate zu (sinα)(-\sin\alpha) und die yy-Koordinate zu cosα\cos\alpha. Das entspricht einer Drehung des Vektors (01)\binom{0}{1} um den Winkel α\alpha im Gegenuhrzeigersinn, also in mathematisch positivem Sinn.

Die Matrix RαR_\alpha realisiert also eine Drehung um den Winkel α\alpha im Gegenuhrzeigersinn.

zu b) Damit ist die Scherzfrage, was (Rπ/2)4(R_{\pi/2})^4 ist, auch sofort klar. Vier Drehungen nach links um den Winkel π2\frac\pi2 ergeben eine Drehung um den Winkel 2π2\pi. Daher ist:(Rπ/2)4=(1001)(R_{\pi/2})^4=\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{pmatrix}

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