Welche geometrische Bedeutung hat die Abbildung

Question

Für α ∈ R definieren wir

$Rα := \begin{pmatrix} cos(α)& −sin(α) \\ sin(α) & cos(α)\end{pmatrix} ∈ R^{2×2.}.$

a) Welche geometrische Bedeutung hat die Abbildung
F_Rα :$R^2 → R^2, \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} → R_{α}\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}?$

Begründen Sie Ihre Antwort.

b) Bestimmen Sie (R_π/2)⁴.

Answer 1

Bilde mal die beiden Einheitsvektoren ab und du siehst:

Drehung um den Ursprung um den Winkel α.

b) ist also die Identität.

Answer 2

Aloha :)

zu a) Wir untersuchen, wie sich die Basisvektoren $\binom{1}{0}$ und $\binom{0}{1}$ unter der Transformation $R_\alpha$ verhalten:

$$R_\alpha\cdot\binom{1}{0}=\left(\begin{array}{rr}\cos\alpha & -\sin\alpha\\\sin\alpha & \cos\alpha\end{array}\right)\binom{1}{0}=\left(\begin{array}{r}\cos\alpha\\\sin\alpha\end{array}\right)$$$$R_\alpha\cdot\binom{0}{1}=\left(\begin{array}{rr}\cos\alpha & -\sin\alpha\\\sin\alpha & \cos\alpha\end{array}\right)\binom{1}{0}=\left(\begin{array}{r}-\sin\alpha\\\cos\alpha\end{array}\right)$$

Bei dem Einheitsvektor $\binom{1}{0}$ wird die $x$-Koordinate zu $\cos\alpha$ und die $y$-Koordinate zu $\sin\alpha$. Das entspricht einer Drehung des Vektors $\binom{1}{0}$ um den Winkel $\alpha$ im Gegenuhrzeigersinn, also in mathematisch positivem Sinn.

Bei dem Einheitsvektor $\binom{0}{1}$ wird die $x$-Koordinate zu $(-\sin\alpha)$ und die $y$-Koordinate zu $\cos\alpha$. Das entspricht einer Drehung des Vektors $\binom{0}{1}$ um den Winkel $\alpha$ im Gegenuhrzeigersinn, also in mathematisch positivem Sinn.

Die Matrix $R_\alpha$ realisiert also eine Drehung um den Winkel $\alpha$ im Gegenuhrzeigersinn.

zu b) Damit ist die Scherzfrage, was $(R_{\pi/2})^4$ ist, auch sofort klar. Vier Drehungen nach links um den Winkel $\frac\pi2$ ergeben eine Drehung um den Winkel $2\pi$. Daher ist:$$(R_{\pi/2})^4=\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{pmatrix}$$