Welche geometrische Bedeutung hat die Abbildung

Question

Für α ∈ R definieren wir

\(Rα := \begin{pmatrix} cos(α)& −sin(α) \\ sin(α) & cos(α)\end{pmatrix} ∈ R^{2×2.}. \)

a) Welche geometrische Bedeutung hat die Abbildung
F_Rα :\(R^2 → R^2, \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} → R_{α}\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}? \)

Begründen Sie Ihre Antwort.

b) Bestimmen Sie (R_π/2)⁴.

Answer 1

Bilde mal die beiden Einheitsvektoren ab und du siehst:

Drehung um den Ursprung um den Winkel α.

b) ist also die Identität.

Answer 2

Aloha :)

zu a) Wir untersuchen, wie sich die Basisvektoren \(\binom{1}{0}\) und \(\binom{0}{1}\) unter der Transformation \(R_\alpha\) verhalten:

$$R_\alpha\cdot\binom{1}{0}=\left(\begin{array}{rr}\cos\alpha & -\sin\alpha\\\sin\alpha & \cos\alpha\end{array}\right)\binom{1}{0}=\left(\begin{array}{r}\cos\alpha\\\sin\alpha\end{array}\right)$$$$R_\alpha\cdot\binom{0}{1}=\left(\begin{array}{rr}\cos\alpha & -\sin\alpha\\\sin\alpha & \cos\alpha\end{array}\right)\binom{1}{0}=\left(\begin{array}{r}-\sin\alpha\\\cos\alpha\end{array}\right)$$

Bei dem Einheitsvektor \(\binom{1}{0}\) wird die \(x\)-Koordinate zu \(\cos\alpha\) und die \(y\)-Koordinate zu \(\sin\alpha\). Das entspricht einer Drehung des Vektors \(\binom{1}{0}\) um den Winkel \(\alpha\) im Gegenuhrzeigersinn, also in mathematisch positivem Sinn.

Bei dem Einheitsvektor \(\binom{0}{1}\) wird die \(x\)-Koordinate zu \((-\sin\alpha)\) und die \(y\)-Koordinate zu \(\cos\alpha\). Das entspricht einer Drehung des Vektors \(\binom{0}{1}\) um den Winkel \(\alpha\) im Gegenuhrzeigersinn, also in mathematisch positivem Sinn.

Die Matrix \(R_\alpha\) realisiert also eine Drehung um den Winkel \(\alpha\) im Gegenuhrzeigersinn.

zu b) Damit ist die Scherzfrage, was \((R_{\pi/2})^4\) ist, auch sofort klar. Vier Drehungen nach links um den Winkel \(\frac\pi2\) ergeben eine Drehung um den Winkel \(2\pi\). Daher ist:$$(R_{\pi/2})^4=\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{pmatrix}$$