Eigenschaften der Menge D={(x,y)|y≥0} ⊆ℝ^2. kompakt, offen oder 'enthält Randpunkte von D'?

Question

Aufgabe: Die Menge D={(x,y)|y≥0} ⊆ℝ²

a) ist kompakt

b) ist offen

c) enthält Randpunkte von D

Ich bitte um eine Lösung zu dieser Aufgabe mit entsprechender Erklärung bzw. Kommentar wieso die anderen Antworten nicht zutreffen.

Vielen Dank
 

Comments

@Fragesteller:

Annahme: 1. Du suchst genau eine richtige Antwort.

Annahme: 2. c) könnte auch heissen: enthält die Randpunkte von D
Stimmt das so?

---

Ja, es sollte nur eine Antwort richtig sein.
Leider sehe ich bei c) nicht den Unterschied zwischen dem, was du schreibst und was da steht.

---

Zu c): Sorry, hatte das 'die' vergessen.

Answer 1

Ich habe so was länger nicht mehr gemacht. Daher mit Vorsicht zu geniessen und bitte gegebenenfalls korrigieren. 

https://de.wikipedia.org/wiki/Rand_(Topologie)

Zitat aus den dortigen Eigenschaften:

Der Rand einer Menge ist stets abgeschlossen.
Der Rand einer Menge  besteht genau aus den Punkten, für die gilt, dass jede ihrer Umgebungen sowohl Punkte aus  als auch Punkte, die nicht in  liegen, enthält.
Der Rand einer Menge ist stets gleich dem Rand ihres Komplements.
Der Rand einer Menge ist der Schnitt des Abschlusses der Menge mit dem Abschluss ihres Komplementes.
Eine Menge ist genau dann abgeschlossen, wenn sie ihren Rand enthält.
Eine Menge ist genau dann offen, wenn sie zu ihrem Rand disjunkt ist.
Eine Menge ist genau dann offen und abgeschlossen, wenn ihr Rand leer ist.

Aufgabe: Die Menge D={(x,y)|y≥0} ⊆ℝ2
a) ist kompakt

b) ist offen
c) enthält Randpunkte von D

mE ist der Rand von D:  R ={(x,y)|y=0} ⊂D. (c) richtig) Da er in D enthalten ist, ist D abgeschlossen (d.h. b) ist falsch.

a) vgl. kompakte Menge gemäss Wikipedia: abgeschlossen und beschränkt. Da D nicht beschränkt ist, ist D nicht kompakt. a) ist falsch.

Comments

Das stimmt alles. Allerdings muss man bei der b) aufpassen: Abgeschlossene Teilmengen von ℝ^n (mit der Standardtopologie), die nicht die leere Menge oder ganz ℝ^n sind, sind tatsächlich nicht offen – im allgemeinen ist "offen" aber nicht das Gegenteil von "abgeschlossen". (Es gibt Topologien, in denen sogar jede offene Menge auch abgeschlossen ist.) Eine schöne Argumentation ist das eigentlich nicht.

---

@Ché Netzer.

Da der Rand in D enthalten ist, ist D abgeschlossen (d.h. b) ist falsch.

Ist das folgendermassen besser?

Da Randpunkte in D enthalten sind, ist D nicht offen (d.h. b) ist falsch.

Was wäre denn eine schönere Argumentation?

---

Vielen Dank erst einmal für die Antwort.
Ich denke auch das a) falsch ist, weil es unbeschränkt ist.
Kann man zur b) auch argumentieren, dass eine Menge genau dann offen ist, wenn jeder Punkt ein innerer Punkt ist? Und ein Punkt ist genau dann ein innerer Punkt wenn eine ε-Kugel um den Punkt mit ε >0 komplett in D liegt, weil dann wäre z.B. der Punkt (0,0) kein innerer Punkt sondern ein Randpunkt, da dieser definiert werden kann,als dass die ε-Kugel sowohl in D als auch im Komplement von D liegt?
Und daher würde man auch zu dem Ergebnis kommen, dass c) richtig ist??

---

Ja, das klingt schon hübscher. Wenn bekannt ist, dass c) impliziert, dass b) nicht gilt, kann man das so hinschreiben.

Edit: Eine ε-Kugel liegt nicht sowohl in D als auch im Komplement von D (sie ist ja nicht Teilmenge von beidem), sondern besitzt Punkte aus beiden Mengen.