Ist die Menge A offen, abgeschlossen oder kompakt?

Question

Aufgabe:

Sei (an) eine konvergente Folge mit Grenzwert a und sei A die Menge der Folgenglieder von (an), also A={an :n∈N}.

Ist die Menge A offen, abgeschlossen oder kompakt? Bestimmen Sie außerdem alle Häufungspunkte,
alle isolierten Punkte sowie den Abschluss von A.

Problem/Ansatz:

Ich weiß nicht wie ich vorgehen soll.

Answer 1

Hallo,

wenn \((a_n)_n\) für \(n\in \mathbb{N}\) gegen \(a\) konvergiert, so ist \(A\) offensichtlich endlich. In metrischen Räumen sind einelementige Mengen abgeschlossen. Und da endliche Vereinigungen abgeschlossener Mengen wieder abgeschlossen sind, ist \(A\) abgeschlossen.

Jede Umgebung von \(a\) (dem Grenzwert) enthält einen von \(a\) verschiedenen Punkt aus \(A\) nach Voraussetzung und ist damit Häufungspunkt.

Für isolierte Punkte finde man eine offene Umgebung \(U\subset A\), so dass \(U\cap A= \{x\}\) für \(x\in A\). (Findet man für \(a_1, a_2, ...\) immer Umgebungen, die nur genau ein Folgenglied beinhalten)?

Der topologische Abschluss ist \(A\cup \{a\}\) (diese Menge ist dann sogar kompakt)

Comments

Vielen Dank! Das hilft mir sehr weiter.