Ist die Menge A offen, abgeschlossen oder kompakt?

Question

Aufgabe:

Sei (an) eine konvergente Folge mit Grenzwert a und sei A die Menge der Folgenglieder von (an), also A={an :n∈N}.

Ist die Menge A offen, abgeschlossen oder kompakt? Bestimmen Sie außerdem alle Häufungspunkte,
alle isolierten Punkte sowie den Abschluss von A.

Problem/Ansatz:

Ich weiß nicht wie ich vorgehen soll.

Answer 1

Hallo,

wenn $(a_n)_n$ für $n\in \mathbb{N}$ gegen $a$ konvergiert, so ist $A$ offensichtlich endlich. In metrischen Räumen sind einelementige Mengen abgeschlossen. Und da endliche Vereinigungen abgeschlossener Mengen wieder abgeschlossen sind, ist $A$ abgeschlossen.

Jede Umgebung von $a$ (dem Grenzwert) enthält einen von $a$ verschiedenen Punkt aus $A$ nach Voraussetzung und ist damit Häufungspunkt.

Für isolierte Punkte finde man eine offene Umgebung $U\subset A$, so dass $U\cap A= \{x\}$ für $x\in A$. (Findet man für $a_1, a_2, ...$ immer Umgebungen, die nur genau ein Folgenglied beinhalten)?

Der topologische Abschluss ist $A\cup \{a\}$ (diese Menge ist dann sogar kompakt)

Comments

Vielen Dank! Das hilft mir sehr weiter.