Ja, a = +/- 2/√45 ist erstmal richtig. Die Vorzeichen bestimmt du nun über das Skalarprodukt der Vektoren untereinander, sie müssen senkrecht aufeinanderstehen.
Du kannst auch das Skalarprodukt der Zeilenvektoren nehmen, also z.B
$$(\frac{2}{3},-\frac{1}{\sqrt{5}},\beta)*(\frac{2}{3},0,\gamma)=0\\ \frac{4}{9}+\beta \gamma=0$$
Daran sieht man, dass beta und gamma unterschiedliches Vorzeichen haben müssen. Dasselbe für die ersten beiden Zeilen, -> alpha und beta müssen selbes Vorzeichen haben. Dann bleiben ja nur noch zwei Vorzeichenkombinationen,
$$\begin{pmatrix} +\\+\\- \end{pmatrix},\begin{pmatrix} -\\-\\+ \end{pmatrix}$$
(Die müsstest du eventuell noch prüfen)