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Aufgabe: Sei A= 2   -1   1

                          -1    2   1

                           1    1   2

                die Matrix. Wie bestimmt man eine orthogonale Matrix S, sodass ST AS eine Diagonalmatrix ist?
Ansatz: Ich habe bereits die Eigenwerte λ1 = 0 und λ2 = 3 (doppelte Nullstelle) berechnet. Und auch die zugehörigen          Eigenvektoren v1 = (-1, -1, 1)T  und v2 = (-1, 1, 0)T  und v3 = (1, 0, 1)T .

Wie muss ich jetzt weiter verfahren um die orthogonale Matrix S zu bekommen?

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Laut Wikipedia ist  "orthogonal" eine Eigenschaft eine einzelnen Matrix.

Also kann man fragen, ob A othogonale Matrix ist. Die Frage nach S (orthogonal zu A) ergibt keinen Sinn.

@Roland: Kann es sein, dass du die Frage nicht verstehst?

@Erdbeere: Du musst die Eigenvektoren zum doppelten Eigenwert senkrecht zueinander wählen.

S heisst orthogonale Matrix, wenn S * S^T = E  (Einheitsmatrix) Vgl. https://de.wikipedia.org/wiki/Orthogonale_Matrix#Definition

Eigenschaft von orthogonalen Matrizen: Spaltenvektoren sind orthogonal zueinander und normiert.

1 Antwort

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EDIT: Korrektes Resultat im Kommentar.

Du nimmst Deine Eigenvektoren und schreibst diese normiert in eine Matrix:


$$S=\begin{pmatrix} -1/\sqrt3 & -1/\sqrt2& 1/\sqrt2  \\-1/\sqrt3 & 1/\sqrt2 & 0  \\1/\sqrt3 & 0 & 1/\sqrt2 \end{pmatrix}$$


Die Diagonalmatrix lautet dann:

$$D=\begin{pmatrix} 0 & 0& 0  \\0& 3 & 0  \\0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$$

Avatar von 3,4 k

Und dieses S ist orthogonal?

Dies hatte ich auch schon berechnet, nur hat das Ergebnis von ST A S bei mir nicht die Diagonalmatrix ergeben...

Vielleicht hatte ich einen Fehler.

Vielen Dank!

Ich habe einen Fehler gemacht.

Ok. Was ist falsch?

Die Eigenvektoren v2 und v3 sind nicht senkrecht aufeinander. Das heißt, Du musst aus dem Eigenraum zwei einen anderen Vektor berechnen der auf v2 senkrecht steht.

<v2,λv2+μv3> =0

Das erhältst Du für zum Beispiel λ=1 und μ=2. Also lautet der dritte Vektor

v3=(1,1,2)

und die Matrix:

$$S=\begin{pmatrix} -1/\sqrt3 & -1/\sqrt2& 1/\sqrt6  \\-1/\sqrt3 & 1/\sqrt2 & 1/\sqrt6  \\1/\sqrt3 & 0 & 2/\sqrt6 \end{pmatrix}$$

Sorry, hatte mich verrechnet !!

Ja jetzt erhält man die Diagonalmatrix. Vielen Dank!

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