Bestimmen einer orthogonalen Matrix

Question

Aufgabe: Sei A= 2   -1   1

                          -1    2   1

                           1    1   2

                die Matrix. Wie bestimmt man eine orthogonale Matrix S, sodass S^T AS eine Diagonalmatrix ist?
Ansatz: Ich habe bereits die Eigenwerte λ₁ = 0 und λ₂ = 3 (doppelte Nullstelle) berechnet. Und auch die zugehörigen          Eigenvektoren v₁ = (-1, -1, 1)^T  und v₂ = (-1, 1, 0)^T  und v₃ = (1, 0, 1)^T .

Wie muss ich jetzt weiter verfahren um die orthogonale Matrix S zu bekommen?

Comments

Laut Wikipedia ist  "orthogonal" eine Eigenschaft eine einzelnen Matrix.

Also kann man fragen, ob A othogonale Matrix ist. Die Frage nach S (orthogonal zu A) ergibt keinen Sinn.

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@Roland: Kann es sein, dass du die Frage nicht verstehst?

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@Erdbeere: Du musst die Eigenvektoren zum doppelten Eigenwert senkrecht zueinander wählen.

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S heisst orthogonale Matrix, wenn S * S^T = E  (Einheitsmatrix) Vgl. https://de.wikipedia.org/wiki/Orthogonale_Matrix#Definition

Eigenschaft von orthogonalen Matrizen: Spaltenvektoren sind orthogonal zueinander und normiert.

Answer 1

EDIT: Korrektes Resultat im Kommentar.

Du nimmst Deine Eigenvektoren und schreibst diese normiert in eine Matrix:

$$S=\begin{pmatrix} -1/\sqrt3 & -1/\sqrt2& 1/\sqrt2  \\-1/\sqrt3 & 1/\sqrt2 & 0  \\1/\sqrt3 & 0 & 1/\sqrt2 \end{pmatrix}$$

Die Diagonalmatrix lautet dann:

$$D=\begin{pmatrix} 0 & 0& 0  \\0& 3 & 0  \\0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$$

Comments

Und dieses S ist orthogonal?

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Dies hatte ich auch schon berechnet, nur hat das Ergebnis von S^T A S bei mir nicht die Diagonalmatrix ergeben...

Vielleicht hatte ich einen Fehler.

Vielen Dank!

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Ich habe einen Fehler gemacht.

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Ok. Was ist falsch?

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Die Eigenvektoren v₂ und v₃ sind nicht senkrecht aufeinander. Das heißt, Du musst aus dem Eigenraum zwei einen anderen Vektor berechnen der auf v2 senkrecht steht.

<v₂,λv₂+μv₃> =0

Das erhältst Du für zum Beispiel λ=1 und μ=2. Also lautet der dritte Vektor

v₃=(1,1,2)

und die Matrix:

$$S=\begin{pmatrix} -1/\sqrt3 & -1/\sqrt2& 1/\sqrt6  \\-1/\sqrt3 & 1/\sqrt2 & 1/\sqrt6  \\1/\sqrt3 & 0 & 2/\sqrt6 \end{pmatrix}$$

Sorry, hatte mich verrechnet !!

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Ja jetzt erhält man die Diagonalmatrix. Vielen Dank!