Hallo Blackwolf,
Zeigen Sie: a) A ist orthogonal.
Wenn Du bei Wikipedia die Definition einer orthogonalen Matrix nachliest, dann steht da, dass eine Matrix \(A\) orthogonal ist, wenn $$A^T \cdot A = \underline 1$$ist. Das kannst Du leicht selbst nachrechnen.
Wahrscheinlich sollts Du zeigen dass die Spaltenvektoren die Länge 1 haben (normal sind) und senkrecht auf einander stehen. Auch dies zeichnet eine Orthogonal-Matrix aus. Falls Du dazu Fragen hast, so melde Dich bitte.
b) Es gibt einen Vektor v ∈ ℝ3, v ≠ 0 mit der Eigenschaft, dass A·v = −v.
Das bedeutet nichts anderes, als dass die Matrix \(A\) einen Eigenwert \(-1\) besitzen muss. Prüfe dazu, ob die charakteristische Gleichung der Matrix \(A\)$$-\lambda^3 + \lambda^2 + \lambda - 1 = 0$$eine Lösung mit \(\lambda = -1\) besitzt. Dies ist der Fall. Der zugehörige Eigenvektor ist $$e_1 = \begin{pmatrix}-1\\ -2\\ 1\end{pmatrix} = v$$
c) A·u = u für alle u ∈ ℝ3 mit ⟨u,v⟩ = 0. Dabei ist ⟨·, ·⟩ das kanonische Skalarprodukt im ℝ3
Die nächsten beiden Eigenwerte \(\lambda_2\) und \(\lambda_3\) sind \(\lambda_2=\lambda_3=1\). Die zugehörigen Eigenvektoren sind $$e_2 = \begin{pmatrix}1\\ 0\\ 1\end{pmatrix}, \quad e_3 = \begin{pmatrix}-1\\ 1\\ 1\end{pmatrix}$$Es gilt also$$ A \cdot k e_{2,3} = k e_{2,3}, \quad k \in \mathbb R$$Die drei Eigenvektoren stehen senkrecht auf einander. Wenn also \(\left< u,v\right> = 0\) heißt das, dass $$u = a\cdot e_2 + b \cdot e_3$$sich \(u\) aus einer Linearkombination von \(e_2\) und \(e_3\) zusammen setzt. Multipliziere das von links mit \(A\)$$\begin{aligned} A u &= A(ae_2 + be_3) \\&= A (ae_2) + A(be_3) \\&= ae_2 + be_3 \\&= u\end{aligned}$$
d) A-1 = A
ich hatte zuerst übersehen, dass \(A\) symmetrisch ist. Es gilt hier also \(A=A^T\). Und da für alle orthogonalen Matrizen \(A^{-1} = A^T\) gilt, gilt hier auch \(A^{-1}=A\).
Gruß Werner
