Bestimmen einer orthogonalen Matrix

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie \( \alpha, \beta, \gamma \in \mathbb{R}, \) sodass durch die Matrix

$$ \mathbf{A}=\left(\begin{array}{rrr} {\frac{1}{3}} & {\frac{2}{\sqrt{5}}} & {\alpha} \\ {\frac{2}{3}} & {-\frac{1}{\sqrt{5}}} & {\beta} \\ {\frac{2}{3}} & {0} & {\gamma} \end{array}\right) $$

eine orthogonale Abbildung definiert wird.

Problem/Ansatz:

Also ich habe versucht das Skalarprodukt zu bestimmen um es dann =  0 zu setzen, was ja die definition einer Orthogonalen Matrize wäre. Leider komm ich nicht mehr weiter. Hat jemand vielleicht eine Idee? Beim Skalarprodukt habe ich -2 √5/3 γ + 6/2√5 ß + 2√5/3 α.

Answer 1

Aloha :)

Bei einer ortogonalen Matrix muss die Länge der Spaltenvektoren und die der Zeilenvektoren gleich \(1\) sein:$$1=\left(\frac{1}{3}\right)^2+\left(\frac{2}{\sqrt5}\right)^2+\alpha^2=\frac{41}{45}+\alpha^2\quad\Rightarrow\quad\alpha=\pm\frac{2}{3\sqrt5}$$$$1=\left(\frac{2}{3}\right)^2+\left(-\frac{1}{\sqrt5}\right)^2+\beta^2=\frac{29}{45}+\beta^2\quad\Rightarrow\quad\beta=\pm\frac{4}{3\sqrt5}$$$$1=\left(\frac{2}{3}\right)^2+\gamma^2=\frac{4}{9}+\gamma^2\quad\Rightarrow\quad\gamma=\pm\frac{\sqrt5}{3}=\pm\frac{5}{3\sqrt5}$$Damit sind die Werte für \(\alpha,\beta,\gamma\) bis auf die Vorzeichen eindeutig bestimmt.

Für eine orthogonale Matrix \(A\) gilt \(A^T=A^{-1}\), sodass:

$$E=A^TA=\left(\begin{array}{c}1 & 0 & \frac{\alpha+2\beta+2\gamma}{3}\\0 & 1 & \frac{2\alpha-\beta}{\sqrt5}\\\frac{\alpha+2\beta+2\gamma}{3} & \frac{2\alpha-\beta}{\sqrt5} & \alpha^2+\beta^2+\gamma^2\end{array}\right)$$

Wegen der Forderung \(\frac{2\alpha-\beta}{\sqrt5}\stackrel{!}{=}0\) müssen \(\alpha\) und \(\beta\) dasselbe Vorzeichen haben. Dann muss aber, wegen \(\frac{\alpha+2\beta+2\gamma}{3}\stackrel{!}{=}0\), \(\gamma\) das dazu entgegengesetzte Vorzeichen haben. Damit haben wir 2 Parametersätze gefunden, die \(A\) zu einer orthogonalen Matrix machen:

$$\alpha=\frac{2}{3\sqrt5}\;;\;\beta=\frac{4}{3\sqrt5}\;;\;\gamma=-\frac{5}{3\sqrt5}$$$$\alpha=-\frac{2}{3\sqrt5}\;;\;\beta=-\frac{4}{3\sqrt5}\;;\;\gamma=\frac{5}{3\sqrt5}$$

Answer 2

Tipp: Die Zeilenvektoren müssen die Länge 1 haben. Damit lassen sich die drei Unbekannten bis aufs Vorzeichen bestimmen.

Comments

Ich kriegst nicht hin.. also länge der einzelnen Vektoren ausrechnen? Da kommen bei mir komische Ergebnisse mit denen ich nichts anfangen kann. Z.b. Wurzel aus 41/45 + a^2..

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komische Ergebnisse mit denen ich nichts anfangen kann. Z.b. Wurzel aus 41/45 + a^2

Bist du nicht in der Lage, die Gleichung

$$\sqrt{a^2+\frac{41}{45}}=1$$

nach a umzustellen?

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Doch schon, ich hatte da a =  +/- 2/√45 raus. Dachte aber irgendwie es wäre falsch :/ Ist das jetzt richtig gewesen?

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Das Problem ist, wenn ich die Werte  einfüge kriege ich bei A * A^T nicht E raus.. Also in der Hauptdiagonale sind 1en aber es sind noch andere Werte dabei.

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Text erkannt:

\( \left(\begin{array}{ccc}{\frac{1}{3}} & {\frac{2}{3}} & {\frac{2}{3}} \\ {\frac{2}{\sqrt{5}}} & {\frac{-1}{\sqrt{5}}} & {0} \\ {\frac{-2}{\sqrt{45}}} & {\frac{-4}{\sqrt{45}}} & {\frac{-\sqrt{5}}{3}}\end{array}\right) \times\left(\begin{array}{ccc}{\frac{1}{3}} & {\frac{2}{\sqrt{5}}} & {\frac{-2}{\sqrt{45}}} \\ {\frac{2}{3}} & {\frac{-1}{\sqrt{5}}} & {\frac{-4}{\sqrt{45}}} \\ {\frac{2}{3}} & {0} & {\frac{-\sqrt{5}}{3}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rrr}{1} & {0} & {\frac{-4 \times \sqrt{5}}{9}} \\ {0} & {1} & {0} \\ {\frac{-4 \times \sqrt{5}}{9}} & {0} & {1}\end{array}\right) \)

 Also das kommt raus

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Ich habs jetzt raus. Wenn ich bei α und β plus eingebe und γ - dann klappt es. Aber das hab ich jetzt nur herausgefunden weil ich rumprobiert habe... Wie könnte ich das denn zügig ohne Computer in der Klausur machen? Hat jemand einen Tipp? Skalarprodukt für Spaltenvektor 1 und 3 ausrechnen?

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Ja,  a =  +/- 2/√45 ist erstmal richtig. Die Vorzeichen bestimmt du nun über das Skalarprodukt der Vektoren untereinander, sie müssen senkrecht aufeinanderstehen.

Du kannst auch das Skalarprodukt der Zeilenvektoren nehmen, also z.B

$$(\frac{2}{3},-\frac{1}{\sqrt{5}},\beta)*(\frac{2}{3},0,\gamma)=0\\ \frac{4}{9}+\beta \gamma=0$$

Daran sieht man, dass beta und gamma unterschiedliches Vorzeichen haben müssen. Dasselbe für die ersten beiden Zeilen, -> alpha und beta müssen selbes Vorzeichen haben. Dann bleiben ja nur noch zwei Vorzeichenkombinationen,

$$\begin{pmatrix} +\\+\\- \end{pmatrix},\begin{pmatrix} -\\-\\+ \end{pmatrix}$$

(Die müsstest du eventuell noch prüfen)

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Jetzt hab ich alles verstanden. Dankeschön :)

Answer 3

Dann muss ja die Matrix orthogonal sein, also

A^T * A = E

==>  a+2b+2c=0 und 2a-b= 0  und a^2 + b^2 + c^2 = 1

Dann kannst du es ausrechnen.

Comments

Das versteh ich irgendwie nicht.. Transponierte Matrix bestimmen, multiplizieren und das Ergebnis muss dann die Einheitsmatrix sein?