Zeigen ob die Menge offen oder abgeschlossen ist

Question

Hallo, wie kann ich bei a) zeigen, ob die Menge abgeschlossen oder offen ist und wie bestimme ich hiervon die randpunkte?

Text erkannt:

a) \( U_{1}=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid 0<x^{2}+y^{2} \leq 4\right\} \),
c) \( U_{3}=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}|| x|+| y \mid \leq 1\right\} \),
b) \( U_{2}=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}|| x|<1,| y \mid<1\right\} \),
d) \( U_{4}=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x^{2}-y^{2} \leq 4\right\} \).

Comments

Abgeschlossen: Für jede Konvergent Folge im der Menge, liegt der Grenzwert in der Menge.

Oder das komplement ist Offen

Offen: Für jeden Punkt existiert ein Radius >0 sodass der Punkt mit dem Radius in der Menge liegt

Oder Komplement ist abgeschlossen

Andere Option: Urbild einer abgeschlossenen Menge unter einer stetigen Funktion ist abgeschlossen. Äquivalent für offenes Urbild.

Wäre zum Beispiel Charakterisierungen die hier hilfreich sind

Ich würde mich zum Beispiel beim letzten Beispiel für die Charakterisierung über Folgen entscheiden und die erste Menge ist weder offen noch abgeschlossen, warum? ;)

b) ist offen, warum?

Und c) überleg mal....

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Hallo :)

Also für a) habe ich tatsächlich rausbekommen das die menge unbeschränkt ist.

Die Menge b) ist beschränkt und offen, c) und kompakt und d) offen und beschränkt

Allerdings schaffe ich es bei keiner der Mengen zu sagen welches die randpunkte sind..

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d) ist nicht offen oder findest du um dem Punkt (2,0) einen Radius, sodass der Punkt in der Menge liegt?

Der Rest ist von der Entscheidung erstmal richtig

Answer 1

Der Rand besteht aus den Punkten \((x,y)\in\mathbb{R}^2\) für die

        \(0 = x^2 + y^2\) oder \(x^2 + y^2 = 4\)

ist.

Answer 2

(a): Hier hat oswald schon beschrieben, dass \(U_1\)

weder offen noch abgeschlossen ist.

(b): \(f(x,y)=|x|+|y|\) ist stetig. Daher ist \(f^{-1}([0,1])\) als

Urbildmenge einer abgeschlossenen Menge abgeschlossen.

(c): \(f(x,y)=|x|\) und \(g(x,y)=|y|\) sind stetig. Daher ist

\(U_3=f^{-1}((-\infty,1))\cap g^{-1}((-\infty,1))\) als

Durchschnitt zweier offener Mengen offen.

(d): \(f(x,y)=x^2-y^2\) ist stetig. Daher ist

\(U_4=f^{-1}((-\infty,4])\) abgeschlossen.